Exercícios Resolvidos de Atrito Estático

Força de Atrito, Forças e Leis de Newton

Você está segurando um livro contra uma parede vertical aplicando uma força com sua mão. O ângulo entre sua força e a vertical é α ( < 90 ° ) , como mostra a figura abaixo. A massa do livro é m e o coeficiente de atrito estático é μ . Se você empurrar forte demais, o livro começará a deslizar para cima e se você não aplicar força suficiente, o livro deslizará para baixo.

a ) Esboce o diagrama de forças para os dois casos na situação em que o livro está prestes a deslizar.

b ) Calcule a magnitude da força que você deve aplicar (como função de α ) na iminência do movimento, também nos dois casos.

c ) Calcule a magnitude da força aplicada (como função de α ) para a qual a força de atrito se anula. Avalie o resultado para α = 0 ° e α = 90 ° .

d ) Para um dado ângulo α de aplicação da força, determine o intervalo de valores de μ em que ainda é possível fazer com que o livro deslize para cima.

Passo 1

a )

Onde F a t corresponde a força de atrito, F p é a força de apoio que a mão está aplicando, m . g é o peso do livro e N é a reação normal.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Vamos começar pelo caso em que o livro está na iminência de deslizar para baixo, a força de atrito é dada por:

F a t = µ N

Decompondo a força F p → nos eixos x e y , podemos analisar o movimento nas direções x e y . Como o livro está em repouso, o somatório das forças no eixo x deve ser zero, assim como o somatório das forças no eixo y . Portanto:

No eixo x :

F p sen ⁡ α - N = 0

N = F p sen ⁡ α

No eixo y :

µ N + F p cos ⁡ α - m g = 0

Substituindo o valor de N que encontramos anteriormente:

μ . F p sen ⁡ α + F p cos ⁡ α = m g

F p μ . sen ⁡ α + cos ⁡ α = m g

Levando finalmente até:

F p = m g µ . sen ⁡ α + cos ⁡ α

O mesmo raciocínio pode ser aplicado para a situação de iminência de deslizamento para cima:

No eixo x :

F p sen ⁡ α - N = 0

N = F p sen ⁡ α

No eixo y :

F p cos ⁡ α - µ N - m g = 0

Substituindo o valor de N que encontramos anteriormente:

F p cos ⁡ α - μ . F p sen ⁡ α = m g

F p cos ⁡ α - μ . sen ⁡ α = m g

Logo,

F p = m g cos ⁡ α - µ . sen ⁡ α

Passo 3

c )

No item anterior, ao analisar o movimento no eixo y na iminência de deslizar para baixo e para cima, encontramos as seguintes equações:

F p y + F a t - m g = 0

F p y - F a t - m g = 0

Em ambas as equações vemos que se a força de atrito se anula ficamos com a equação:

F p y - m g = 0

F p cos ⁡ α = m g

F p = m g cos ⁡ α

Quando α = 0 ° (diretamente na vertical):

F p = m g cos ⁡ ( 0 ° ) =   m g  

Quando α = 90 ° (diretamente na horizontal):

F p = m g cos ⁡ ( 90 ° ) = m g 0 = ∞

Logo é impossível segurar o livro com uma força horizontal sem ajuda da força de atrito.

Passo 4

d )

Como já vimos no item b , a equação de equilíbrio na direção y para que o livro deslize para cima é:

F p = m g cos ⁡ α - µ . sen ⁡ α

Portanto, o valor de μ pode variar de tal forma que não anule o denominador da fração. Porque ao anular o denominador, precisará de uma força infinita para equilibrar o livro. Portanto vamos descobrir em qual valor o μ anulará o denominador.

cos ⁡ α - µ . sen ⁡ α = 0

μ = cos ⁡ α sen ⁡ α

μ = c o t a n   α

Logo, quando μ = tan ⁡ α , você precisará aplicar uma força infinita ao livro. Logo, μ < co tan ⁡ α

Resposta

a )

b ) Na iminência de deslizar para baixo:

F p = m g µ . sen ⁡ α + cos ⁡ α

Na iminência de deslizamento para cima:

F p = m g cos ⁡ α - µ . sen ⁡ α

c )   F p = m g cos ⁡ α

Quando α = 0 ° (diretamente na vertical):

F p =   m g  

Quando α = 90 ° (diretamente na horizontal):

F p = ∞

d )   μ < co tan ⁡ α

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