Exercícios Resolvidos de Atrito Estático

Força de Atrito

A figura seguinte representa um sistema formado por duas cunhas A   e B , ambas com massa igual a m , sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa; não há contato entre a cunha A e essa superfície horizontal. O coeficiente de atrito estático entre as superfícies das cunhas é igual a μ e . Sob ação de uma força F → horizontal constante, aplicada em B , como mostra a figura, o sistema se move em movimento retilíneo uniformemente acelerado, sem que a cunha A   deslize sobre a cunha B . O módulo de F → e demais condições são tais que o atrito entre as cinhas tem que impedir a cunha A   de deslizar para cima sobre a B . Considere como dados m , μ e , F → , o ângulo θ indicados na figra e a aceleração da gravidade g → .

  1. Determine a força resultante sobre a cunha A .
  2. Calcule o módulo da força total que a cunha B   exerce sobre a cunha A .
  3. Represente em um diagrama todas as forças que agem sobre cada uma das cunhas.
  4. Calcule o módulo da força de atrito entre as cunhas.
  5. Determine a máxima intensidade da força aplicada F → , de modo que a cunha A ainda não suba deslizando sobre a cunha B .

Passo 1

Primeiro vamos escrever os dados do enunciado

D a d o s μ e m F g θ

Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a)

Antes de fazer o DCL de cada bloco, vamos fazer algo que facilita nossas contas, o DCL do sistema. Considerando A e B uma coisa só.

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o sistema está apoiado no chão.

  5. Tem algum fio?
  6. Não, não existe fio atuando.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Não, o sistema não possui atrito.

O DCL do sistema fica

Passo 3

No e i x o   x , temos

F r = F

m + m a = F

a = F 2 m

Atenção!!!

Usamos a massa do sistema na fórmula da força resultante

Passo 4

Usando a fórmula da força resultante para a cunha A temos

F R A = m a

F R A = m F 2 m = F 2

F R A = F 2

Passo 5

b)

Vamos agora fazer o DCL da cunha A

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o sistema está apoiado no outro bloco.

  5. Tem algum fio?
  6. Não, não existe fio atuando.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Sim, existe atrito entre as cunhas.

Passo 6

Diferente do normal, vamos escrever essa soma vetorialmente, em vez de cada componente das forças

F → R = P → + f → e + N → A

Ele pede a reação do chão, lembra que ela é a soma da força normal coma força de atrito?

R → c h ã o = f → e + N → A

R → c h ã o = F → R - P →

Repara que a força resultante é para direita, enquanto – P → é para cima, isso nós diz que

R c h ã o x = F R

R c h ã o y = - P

O módulo da reação vai ser

R → c h ã o 2 = R c h ã o x 2 + R c h ã o y 2

R → c h ã o 2 = F R 2 + P 2

R → c h ã o 2 = F 2 2 + m g 2

R → c h ã o = F 2 4 + m g 2

No caso o “chão” é a cunha A .

Passo 7

Vamos agora fazer o DCL da cunha B

Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o sistema está apoiado no outro bloco e no chão.

  5. Tem algum fio?
  6. Não, não existe fio atuando.

  7. Tem mola?
  8. Não, não existe mola atuando.

  9. Tem atrito?

Sim, existe atrito entre as cunhas.

Passo 8

c)

Vamos fazer um esquema das forças na cunha A para entendermos direito onde fica cada ângulo

O ângulo θ é o ângulo da junção com a horizontal, como a força de atrito está na horizontal, aquele ângulo da força de atrito com a horizontal deve ser θ .

A força normal é perpendicular a força de atrito, isso nós diz que enquanto o ângulo da força de atrito é na horizontal, o ângulo da normal será com a vertical.

Passo 9

Vamos começar fazendo o equilíbrio ao longo do e i x o   y ,

P + f e y = N A y

Devemos encontrar f e y usando a “regra do COlado, SEparado”.

f e y = f e sen ⁡ θ

Devemos encontrar N A y usando a “regra do COlado, SEparado”.

N A y = N A cos ⁡ θ

Vamos ter

m g + f e sen ⁡ θ = N A cos ⁡ θ

m g = N A cos ⁡ θ - f e sen ⁡ θ

Lembre que a força de atrito estática NÃO é dada pela fórmula. O que a fórmula nos diz é a força de atrito MÁXIMA.

Passo 10

Essa fórmula não resolve nada, então vamos fazer a analise no e i x o   x

F R = f e x + N A x

Devemos encontrar f e x usando a “regra do COlado, SEparado”.

f e x = f e cos ⁡ θ

Devemos encontrar N A x usando a “regra do COlado, SEparado”.

N A x = N A sen ⁡ θ

Lembrando que F R = F / 2

F 2 = f e cos ⁡ θ + N A sen ⁡ θ

F = 2 f e cos ⁡ θ + 2 N A sen ⁡ θ

Passo 11

Encontramos

m g = N A cos ⁡ θ - f e sen ⁡ θ F = 2 N A sen ⁡ θ + 2 f e cos ⁡ θ

Esse sistema não é muito fácil de resolver, mas vamos lá

Multiplicando a primeira equação por - 2 sen ⁡ θ e a segunda equação por cos ⁡ θ

- 2 m g sen ⁡ θ = - 2 N A sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 f e sen 2 ⁡ θ F cos ⁡ θ = 2 N A cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 2 f e cos 2 ⁡ θ

Fizemos isso para igualar os caras que multiplicam a normal. Porque fizemos isso? Quando somarmos as equações as forças normais vão se anular. Vamos somar os dois lados para ver isso

F cos ⁡ θ - 2 m g sen ⁡ θ = 2 N A cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 2 f e cos 2 ⁡ θ - 2 N A sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 f e sen 2 ⁡ θ

F cos ⁡ θ - 2 m g sen ⁡ θ = 2 f e cos 2 ⁡ θ + 2 f e sen 2 ⁡ θ

Lembre que

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Vamos ter

2 f e = F cos ⁡ θ - 2 m g sen ⁡ θ

f e = F cos ⁡ θ - 2 m g sen ⁡ θ 2

Passo 12

e)

A força máxima acontece quando a força de atrito for máxima, que a situação limite para as cunhas se moverem juntas

Vamos reescrever as equações para a cunha A

m g = N A cos ⁡ θ - f e sen ⁡ θ F = 2 N A sen ⁡ θ + 2 f e cos ⁡ θ

Nessa situação limite

f e = N A μ e

Substituindo

m g = N A cos ⁡ θ - N A μ e sen ⁡ θ F = 2 N A sen ⁡ θ + 2 N A μ e cos ⁡ θ

Passo 13

Da primeira equação

N A = m g cos ⁡ θ - μ e sen ⁡ θ

Da segunda equação

N A = F 2 sen ⁡ θ + 2 μ e cos ⁡ θ

Igualando isso

m g cos ⁡ θ - μ e sen ⁡ θ = F 2 sen ⁡ θ + 2 μ e cos ⁡ θ

F = 2 m g sen ⁡ θ + μ e cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ e sen ⁡ θ

Complexa essa questão. Recomendo que você a reveja desde o início com muita calma, mesmo que tenha entendido. É importante fixar bem essa questão.!!!

Resposta

F R A = F 2

R → c h ã o = F 2 4 + m g 2

f e = F cos ⁡ θ - 2 m g sen ⁡ θ 2

F = 2 m g sen ⁡ θ + μ e cos ⁡ θ cos ⁡ θ - μ e sen ⁡ θ

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