Exercícios Resolvidos de Atrito Estático

Origem do Exercício

Questão discursiva.

Um bloco de massa m está posicionado sobre uma cunha triangular de massa M , que faz um ângulo θ com a horizontal (ver figura abaixo).

Não há atrito entre a cunha e a superfície horizontal sobre a qual ela se apoia. Considere g → = - g   j ^ .

  1. Se o atrito entre o bloco e a cunha for desprezível, calcule a aceleração horizontal que a cunha deve ter para que o bloco permaneça em repouso em relação à mesma.
  2. Calcule o módulo da força F → atuando sobre a cunha que produz a aceleração encontrada no item (a).
  3. Considere agora que o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a cunha vale μ e .

  4. Se μ e < tan ⁡ θ , determine a aceleração horizontal mínima da cunha para que o bloco permaneça em repouso em relação à ela.

Passo 1

Letra a)

Para o bloquinho permanecer em repouso com relação à cunha, os dois têm que se mover juntos e a aceleração dos dois tem que ser IGUALZINHA.

As forças que atuam no bloquinho são a força de contato normal N → e a força peso P → .

Precisamos escolher os eixos que mais facilitem o problema pra gente, se não caimos num buraco sem fundo! Como a aceleração é horizontal, ao longo do eixo i ^ desenhado na figura, então o melhor é usar os eixos da própria figura. Temos então que decompor a força normal:

Para achar as componentes em função do módulo da normal N , vamos ter que usar um pouquinho de geometria.

Como a direção i ^ é paralela à base da cunha, o ângulo que ela faz com a cunha vai ser θ também. Além disso, como N → é normal ao plano da cunha, o ângulo que ele faz com o eixo horizontal é 90 ° - θ e logo, o ângulo que ele faz com a direção vertical é θ .

Isso nos diz o seguinte:

N y = N ∙ cos ⁡ θ

N x = N ∙ sen ⁡ θ

Como o bloco não voa do nada, ele não tem aceleração vertical, e assim a força resultante vertical vai ser:

N y - P = 0

N ∙ cos ⁡ θ - m g = 0

Daí tiramos que:

N = m g cos ⁡ θ

Enquanto a força horizontal resultante vai ser:

N x = m a

N ∙ sen ⁡ θ = m a

Substituindo o resultado anterior, temos:

m g cos ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ = m a

a = g ∙ tan ⁡ θ

Em notação vetorial:

a → = g ∙ tan ⁡ θ   i ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

O sistema todo se movimenta junto, com uma aceleração a → . Podemos então pensar na cunha e no bloquinho juntos, formando um MEGA BLOCO-CUNHA de massa M + m .

Pela segunda lei de newton, a força necessária pra esse sistema se mover com aceleração a → é:

F → = M + m a →

F → = M + m ∙ g ∙ tan ⁡ θ   i ^

Em módulo:

F = M + m ∙ g ∙ tan ⁡ θ

Passo 3

Letra c)

Se considerarmos agora o atrito estático (pois o bloco estará parado em relação à cunha), temos que adicionar essa força no nosso bloquinho lá da letra a .

A força de atrito aponta nessa direção pois ele se opõe ao movimento natural do bloquinho escorregar ao longo da cunha. Se o bloco fosse subir pela cunha, o seu sentido seria o contrário.

(Poderíamos considerar que o bloquinho estava prestes a subir, e o atrito estava no sentido oposto, mas esse seria outro problema, pois as acelerações teriam que ser muito grandes).

Assim como decompomos a normal antes, precisamos agora decompor a força de atrito. Porém, como ela tem mesma direção da superfície da cunha, não temos que ficar pensando na geometria da coisa: o ângulo entre F a t → e o eixo horizontal é θ .

O que nos dá, em módulo:

F a t , y = F a t ∙ sen ⁡ θ

F a t , x = F a t ∙ cos ⁡ θ

Fazendo o balanço das forças nos dois eixos, teremos:

Eixo Vertical

N y + F a t , y - P = 0

N ∙ cos ⁡ θ + F a t ∙ sen ⁡ θ - m g = 0

Eixo Horizontal

N x - F a t , x = m a

N ∙ sen ⁡ θ - F a t ∙ cos ⁡ θ = m a

Passo 4

Resumindo as equações que obtivemos no passo anterior:

N ∙ cos ⁡ θ + F a t ∙ sen ⁡ θ = m g

N ∙ sen ⁡ θ - F a t ∙ cos ⁡ θ = m a

Vamos tentar agora isolar N e F a t para encontrar expressões pra elas com o que é dado no problema.

Da segundo equação:

N = 1 sen ⁡ θ m a + F a t cos ⁡ θ

Substituindo na primeira:

cos ⁡ θ sen ⁡ θ m a + F a t cos ⁡ θ + F a t sen ⁡ θ = m g

Rearrumando:

F a t cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ + sen ⁡ θ = m ∙ g - cos ⁡ θ sen ⁡ θ a

F a t cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = sen ⁡ θ ∙ m ∙ g - cos ⁡ θ sen ⁡ θ a

F a t = m ∙ g sen ⁡ θ - a cos ⁡ θ

Podemos usar isso para achar também uma expressão para a normal:

N = 1 sen ⁡ θ m a + F a t cos ⁡ θ = N = 1 sen ⁡ θ m a + m ∙ g sen ⁡ θ - a cos ⁡ θ cos ⁡ θ

N = m ∙ a ∙ 1 - cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ + g cos ⁡ θ = m ∙ a ∙ sen 2 ⁡ θ sen ⁡ θ + g cos ⁡ θ

N = m ∙ a ∙ sen ⁡ θ + g cos ⁡ θ

Agora vamos lembrar sobre força de atrito.

A força de atrito estático vai aumentando até que ela atinja um máximo. Esse máximo é encontrado usando a força normal e o coeficiente de atrito estático.

F a t ≤ F a t ,   m á x = μ e N

Substituindo as expressões que encontramos:

m ∙ g sen ⁡ θ - a cos ⁡ θ ≤ μ e ∙ m ∙ a ∙ sen ⁡ θ + g cos ⁡ θ

Colocando tudo que tem a pra direita e tudo que tem g pra esquerda, teremos:

m ∙ g ∙ sen ⁡ θ - μ e ∙ m ∙ g cos ⁡ θ ≤ μ e m ∙ a ∙ sen ⁡ θ + m ∙ a ∙ cos ⁡ θ

m g sen ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ ≤ m a μ e sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

a ≥ g sen ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ μ e sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

Logo, a aceleração mínima é:

a m í n = g sen ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ μ e sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

Lembrando que estamos considerando que μ e < tan ⁡ θ o que faz com que a m í n > 0 . Isso se dá porque, neste caso, se a cunha estivesse parada, o bloquinho iria deslizar ao longo dela.

Duas observações:

  • Se tivéssemos μ e = tan ⁡ θ , a aceleração mínima seria zero. Isso é porque nós recaímos no caso de encontrar o ângulo limite da cunha para o qual o bloco não desliza, com a cunha parada.
  • Se mudássemos o sentido da força de atrito (para fazer isso, basta multiplicar a expressão que obtivemos por - 1 ) nós encontraríamos um valor máximo para a aceleração. Isso significa que pra acelerações maiores que ela o bloco iria deslizar para cima.

Resposta

Letra a)

a → = g ∙ tan ⁡ θ   i ^

Letra b)

F = M + m ∙ g ∙ tan ⁡ θ

Letra c)

a m í n = g sen ⁡ θ - μ e cos ⁡ θ μ e sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

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