Enunciado

Um bloco inicialmente em repouso é solto do alto de uma rampa inclinada sem atrito. Quando ele chega à base da rampa, sua velocidade é v . De quantas vezes devemos aumentar a altura da rampa para que o bloco chegue na base com o dobro desta velocidade?

a) 1 vez.

b) 2 vezes.

c) 3 vezes.

d) 4 vezes.

e) nenhuma das respostas acima

Passo 1

Vamos aplicar a conservação da energia mecânica!

Quando é solto no topo da rampa, o bloco tem uma energia potencial gravitacional que vou chamar de U g i .

Digamos que ele é solto de uma altura h em relação ao chão, então:

U g i = m g h

Ele é solto do repouso então sua energia cinética inicial K i é nula:

K i = 0

Passo 2

Chegando na base da rampa, o bloco está no nível do chão, então sua energia potencial gravitacional final U g f é nula:

U g f = 0

Vamos considerar que o bloco tem massa m . Ele chega na base da rampa com uma velocidade v então sua energia cinética final K f é:

K f = 1 2 m v 2

Passo 3

Show! Agora basta aplicar a conservação da energia mecânica!

Como não há atrito, a energia mecânica inicial é igual à energia mecânica final:

E m i = E m f

⇒ U g i + K i = U g f + K f

⇒ m g h + 0 = 0 + 1 2 m v 2

⇒ 2 g h = v 2

⇒ v = 2 g h

Passo 4

Beleza, achamos aquele resultado clássico, o bloco chega na base com uma velocidade de 2 g h . Mas o que a gente quer é a altura h ' em que o bloco deve partir pra chegar na base com o dobro dessa velocidade, ou seja 2 2 g h .

Até aqui, achamos a velocidade em função de h . Agora vamos fazer o contrário, a partir de uma nova velocidade, vamos achar a nova altura h ' , ok?

Passo 5

Quando o bloco é solto da altura h ' , sua energia potencial gravitacional inicial é:

U g i = m g h '

E como ele é solto do repouso, sua energia cinética é zero:

K i = 0

Passo 6

Na base da rampa, a velocidade final do bloco tem que ser 2 2 g h , então sua energia cinética final é:

K f = 1 2 m 2 2 g h 2 = 1 2 m ⋅ 4 ⋅ 2 g h = 4 m g h

E por estar no nível do chão, sua energia potencial gravitacional é nula:

U g f = 0

Passo 7

Pronto, basta aplicar a conservação de energia mecânica e partir pro abraço!

E m i = E m f

⇒ K i + U g i = K f + U g f

⇒ 0 + m g h ' = 4 m g h + 0

⇒ h ' = 4 h

Portanto, pro bloco chegar na base com o dobro da velocidade, temos que aumentar 4 vezes a altura da rampa!

Resposta

Alternativa (d)

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