9) Uma casca esférica homogênea de massa M e raio R é solta do repouso de modo a descer por uma rampa, vindo a abandoná-la a partir de sua extremidade em B, após descer uma altura H, conforme ilustrado na figura. Desconsiderando a resistência do ar e assumindo que a casca nunca perca o contato com a superfície da rampa, a velocidade do centro de massa da casca esférica ao chegar ao ponto B será:

  1. V C M = 2 g H
  2. V C M = 6 g H 5
  3. V C M = 10 g H 7
  4. V C M = 5 g H
  5. V C M = 3 g H

Passo 1

Fala aí, galerinhaa! Tudo certo??O problema nos dá um rolamento sem deslizamento de uma casca esférica e ele pede a velocidade quando essa casca esférica desce uma altura H . Esse problema é o típico problema de conservação da energia mecânica mas temos que tomar um cuidado pois temos agora um rolamento também, beleza?No ponto inicial, como partimos do repouso, temos apenas a energia potencial gravitacional: E i = U g = M g H No final dessa rampa, temos apenas a energia cinética. Como temos uma rotação também, a energia no ponto final é dada por: E f = T = M V C M 2 2 + I ω 2 2

Então a gente usa a conservação da energia mecânica: E i = E f

Para achar esse V C M . Partiiiu!

Passo 2

Bom, primeiro vamos melhorar a cara da energia cinética do sistema:

T = M V C M 2 2 + I ω 2 2 Esse I é o momento de inércia da casca esférica que é dado por:

I c a s c a = 2 3 M R 2 Ou seja: T =   M V C M 2 2 + 2 3 M R 2 ω 2 2   T =     M V C M 2 2 + M R 2 ω 2 3

Como a gente não conhece aquele ω essa expressão ainda não é muito útil. Então a gente usa que: V c m = ω R Então temos:

T =     M V C M 2 2 + M ω R 2 3 = M V C M 2 2 + M V C M 2 3   Manipulando essa expressão temos: T = 5 6 M V C M 2

Passo 3

Agora que temos uma cara melhor da energia cinética, usamos a conservação da energia mecânica do sistema: E i = E f U g = T

Usando os valores que calculamos temos:

M g H = 5 6 M V C M 2  

Isolando V C M ficamos com V C M = 6 g H 5

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

(b) V C M = 6 g H 5

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