Uma granada explode em três fragmentos iguais de massa m = 100 g . Após a explosão, o primeiro fragmento vai para o oeste e os outros dois nas seguintes direções: θ 2 = 30 ° ao norte e θ 3 = 60 ° ao sul, ambos em relação à direção leste. A energia cinética total liberada foi de 4000 J . Quais são os módulos das velocidades iniciais dos 3 fragmentos, logo após a explosão?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos? Vamos fazer um desenho dessa situação!

Digamos que a granada (ponto preto grande) estivesse na origem. Sendo assim um dos fragmentos está na direção oeste (em vermelho, na direção negativo de x ), o outro está a θ 2 = 30 ° ao norte (ou seja 30 ° acima do eixo x , está em azul) e o último está a θ 3 = 60 ° ao sul (ou seja, 60 ° abaixo do eixo x , está em verde).

Então um esquema com essas coisas fica mais ou menos assim:

A gente pode atribuir vetores velocidades a esses fragmentos. A ideia aqui é usar a conservação de energia + a conservação de momento linear para achar essas velocidades. Beleza?

Passo 2

Vamos agora identificar os vetores velocidades desse problema. Lembrando o desenho que fiz ali em cima:

Vamos começar pelo fragmento vermelho. Ele está na direção de x negativo, e digamos que ele tem uma velocidade v 1 depois da explosão, então o vetor que vai representar ele é:

v → 1 = - v 1 x ^

Beleza?

Agora o fragmento azul:

Ele está acima o eixo x , no primeiro quadrante, então as componentes x e y desse vetor são positivas. Dizendo que ele assume uma velocidade v 2 depois da explosão, o vetor que representa ele é:

v → 2 = v 2 c o s 30   x ^ + v 2 s e n 30   y ^

E por fim o fragmento verde:

Ele está abaixo o eixo x , no quarto quadrante, então a componente x é positiva, mas a y é negativa!

Dizendo que ele assume uma velocidade v 3 depois da explosão, o vetor que representa ele é:

v → 3 = v 3 c o s 6 0   x ^ - v 3 s e n 6 0   y ^

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vou usar a conservação de momento linear! O momento linear TOTAL do sistema deve ser SEMPRE conservado! Como tudo estava em repouso, o momento linear total inicial é zero!

p → i = 0

E o final? Bom, ele é a soma vetorial dos momentos individuais de cada fragmento! (lembra que fazer uma soma vetorial é somar componente a componente)

O momento linear é o produto da massa pela velocidade, assim os momentos dos fragmentos são:

p → 1 = m v → 1 = - m v 1 x ^

p → 2 = m v → 2 = m ( v 2 c o s 30   x ^ + v 2 s e n 30   y ^ )

p → 3 = m v → 3 = m ( v 3 c o s 60   x ^ - v 3 s e n 60   y ^ )

E o momento linear final total é a soma de todos esses momentos:

p → f = p → 1 + p → 2 + p → 3

Sabemos que o momento se conserva, daí:

p → i = p → f

0 → = p → 1 + p → 2 + p → 3

Então precisamos somar componente a componente e igualar a zero! Teremos um sistema de duas equações e três incógnitas! Saca só:

e m   x :   - m v 1 + m v 2 c o s 30 + m v 3 c o s 60 = 0 e m   y   :                                   m v 2 s e n 30 - m v 3 s e n 60 = 0

Da equação em y podemos determinar v 2 em função de v 3 :

m v 2 s e n 30 - m v 3 s e n 60 = 0

v 2 . 1 2 - v 3 . 3 2 = 0

v 2 = 3 v 3

E agora da equação em x a gente pode ter v 1 em função de v 3 :

- m v 1 + m v 2 c o s 30 + m v 3 c o s 60 = 0

v 1 = v 2 c o s 30 + v 3 c o s 60

v 1 = 3 v 3 . 3 2 + v 3 . 1 2 = 3 2 v 3 + 1 2 v 3 = 4 2 v 3

v 1 = 2 v 3

Bom, precisamos de outra equação!

O momento sempre se conserva! Mas aqui a ENERGIA TAMBÉM!

A outra equação que precisamos é a equação e conservação de energia!

Passo 4

A energia total liberada foi de 4000 J , então quer dizer que a energia cinética total dos fragmentos é igual a energia liberada!

Assim temos que:

4000 J = m v 1 2 2 + m v 2 2 2 + m v 3 2 2

Deixando de uma forma mais simpática temos o seguinte:

4000 . 2 m = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

A massa de cada fragmento é igual a 0,1 k g , então já vou calcular o valor do lado esquerdo dessa equação:

80000 = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

Mas do passo anterior temos que:

v 1 = 2 v 3

v 2 = 3 v 3

Então vou substituir essas duas velocidades na equação da energia e ficar com uma equação apenas em v 3 :

80000 = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2

80000 = 2 v 3 2 + 3 v 3 2 + v 3 2

80000 = 4 v 3 2 + 3 v 3 2 + v 3 2 = 8 v 3 2

8 v 3 2 = 80000

v 3 2 = 10000

v 3 = 10000 = 100 m / s

Oba!

E agora podemos achar as outras velocidades:

v 1 = 2 v 3 = 2 .   100 = 200 m / s

v 2 = 3 v 3 = 1,732   .   100 = 173,2 m / s

Pronto! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

Resposta

v 1 = 100

v 2 = 200 m / s

v 3 = 173,2 m / s

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