Um carrinho de montanha-russa, de 1500 k g , parte do repouso de uma altura H = 23,0 m acima da base de uma laço de 15,0 m de diâmetro. Se o atrito é desprezível, determine a força para baixo exercida pelos trilhos sobre o carrinho, quando este está no topo do laço, de cabeça para baixo.

Passo 1

O que vai acontecer aqui é o seguinte, o carrinho sai do repouso v 0 = 0 mas quando chega lá embaixo tem velocidade. Isso acontece por quê a energia mecânica envolvida no sistema se conserva e podemos usar a equação que iguala as energias inicial e final.

E 0 = E f

U 0 + K 0 = U f + K f

No looping o carrinho vai realizar um movimento circular, onde a força resultante é a força centrípeta que aponta para o centro da circunferência.

F c p = m a c = m v 2 R

Usaremos esses dois conceitos pra resolver essa questão, a conservação de energia vai ajudar a gente a encontrar a velocidade no topo do looping e a força centrípeta pra encontrar a força que os trilhos fazem no carrinho.

Passo 2

Vamos pegar o ponto de onde o carrinho parte do repouso e o topo do looping, e fazer aqui a conservação de energia.

No ponto mais alto da montanha a energia mecânica será a inicial, e como não tem velocidade é somente a energia potencial.

E 0 = U 0 = m g H

No topo do laço, o carrinho terá energia cinética e potencial, nesse caso ele já perdeu alguma altura agora em relação ao chão tem altura de 2 R que é o diâmetro da trajetória.

E f = U f + K f = m g 2 R + K f

Igualando as energias temos:

E 0 = U 0

m g H = m g 2 R + K f

m g H - 2 R = K f

Substituindo m = 1500 k g , g = 9,81 m / s 2 , H = 23 m e 2 R = 15 m , temos:

1500 × 9.81 ( 23,0 - 15 ) = K

K =   117720 J

Para descobrir a velocidade no ponto mais alto do laço, vamos usar a fórmula da energia cinética:

K = m v 2 2 = 117720

v = 2 × 117720 1500

v = 12,5 m / s

Passo 3

Agora que já sabemos a velocidade, podemos calcular a força que os trilhos exercem sobre o carrinho

A força peso e a força dos trilhos apontam pra baixo nesse ponto, sendo assim podemos aplicar a segunda lei de newton pra relacionar a força centrípeta com as forças atuantes.

∑ F = m a c

Como F c p = m a c , temos:

∑ F = F c p

Sendo assim temos:

P + F t r i l h o s = F c p

m v 2 R = m g + F t r i l h o s

Substituindo valores temos:

1500 x × 12,5 2 7,5 = 1500 × 9,81 + F t r i l h o s

F t r i l h o s = 16,5   k N

Resposta

F t r i l h o s = 16,5   k N

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