Um bloco de massa m encontra-se a uma altura h a partir do topo de uma mola relaxada de constante elástica k . Use g para a aceleração da gravidade. Após o bloco ser solto e tocar a mola, determine em termos de m , h e k :

a) Qual a compressão da mola onde o bloco tem aceleração nula?

b) Determine a máxima compressão da mola.

Passo 1

A situação é a seguinte. Inicialmente o bloco é solto de uma altura h acima da mola:

Queremos saber qual a compressão da mola onde o bloco tem aceleração nula.

Passo 2

Não podemos confundir aceleração nula com velocidade nula...

Pela Segunda Lei de Newton:

F R = m a

Vemos que a aceleração do bloco só será nula quando a força resultante sobre ele F R também for nula:

F R = 0 → a = 0

Passo 3

No momento em que o bloco toca a mola (não há compressão), há apenas a força peso P → atuando sobre ele:

Na medida em que a mola vai se deformando, começa a atuar uma força elástica contrária, ou seja para cima:

Entretanto, enquanto a força elástica F → e l é menor que a força peso P → , a resultante ainda é para baixo, ou seja, o bloco ainda tem uma aceleração para baixo.

Isso vai acontecer até que a deformação atinja um valor em que a força elástica F → e l tenha o mesmo módulo da força peso P → :

F e l = P

Nesse instante, a força resultante será nula:

F R = P - F e l = 0

Ou seja a aceleração será nula:

a = 0

Por mais que o bloco ainda esteje em movimento de descida.

Passo 4

Então, basta igualar as duas expressões:

F e l = P

k x = m g

x = m g k

Passo 5

Já na letra (b), queremos achar a máxima deformação da mola.

Ou seja, queremos o instante em que a velocidade do bloco chegue a zero e ele não deforme mais a mola, voltando então a subir.

Se fizermos o raciocínio a partir das forças, será bastante trabalhoso já que a força elástica da mola é variável.

Então, uma boa alternativa é calcular isso através da energia.

Passo 6

Apenas as forças peso P → e elástica F → e l atuam sobre o bloco. Como elas são forças conservativas, a energia mecânica do sistema se conserva.

Então, vamos considerar o instante inicial com o bloco em repouso à uma altura h da mola:

E o instante final, onde a deformação da mola é máxima:

Passo 7

A energia mecânica inicial está apenas na forma de potencial gravitacional:

E M 0 = U g

Onde a altura inical com base no referencial da menor altura é:

h 0 = x m á x + h

Então, a energia mecânica inicial é:

E M 0 = m g x m á x + h

Já na situação final, o bloco novamente estará em repouso, portanto não vai ter energia cinética. Toda sua energia estará na forma de potencial elástica:

E M = k x m á x 2 2

Aplicando na conservação de energia, temos:

E M 0 = E M

m g x m á x + h = k x m á x 2 2

Queremos isolar x m á x :

2 m g x m á x + h = k x m á x 2

2 m g x m á x + 2 m g h = k x m á x 2

k x m á x 2 - 2 m g x m á x - 2 m g h = 0

Temos uma equação de segundo grau:

k x m á x 2 + - 2 m g x m á x + - 2 m g h = 0

Passo 8

Vamos aplicar na fórmula de Bháskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo as constantes a , b e c , temos:

x = - - 2 m g ± - 2 m g 2 - 4 k - 2 m g h 2 k

x = 2 m g ± 2 m g 2 + 8 m g h k 2 k

Poxa, mas temos dois valores possíveis então?

Nada disso!

Uma das raízes será negativa:

x = 2 m g - 2 m g 2 + 8 m g h k 2 k

Isso acontece porque o termo resultante da raiz quadrada é maior que o termo 2 m g , o que dá um x negativo e por isso não será um resultado fisicamente plausível para essa situação.

Conseguimos descobrir isso olhando para o termo dentro da raiz.

Se dentro da raiz tivesse apenas o termo 2 m g 2 , teríamos:

2 m g 2 = 2 m g

Ou seja, nosso x já seria nulo:

x = 2 m g - 2 m g 2 k = 0

Porém, dentro da raiz temos mais um termo positivo somado 8 m g h k e portanto o resultado dessa raiz é maior que:

2 m g 2 + 8 m g h k > 2 m g

Então, subtraindo esse termo, ficamos com um resultado negativo.

Pronto, eliminando esse resultado negativo de x , ficamos apenas com o resultado positivo que é a nossa resposta:

x = 2 m g + 2 m g 2 + 8 m g h k 2 k

Resposta

(a)

x = m g k

(b)

x = 2 m g + 2 m g 2 + 8 m g h k 2 k

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