(Cap 7 – Ex 51a) Uma bola (de 0,17   K g ) é lançada do teto de um edifício, 12   m   acima do chão. Sua velocidade inicial é de 30   m / s , formando 40 ° acima da horizontal. Despreze a resistência do ar.

a) Qual a altura máxima, acima do chão, atingida pela bola?

Passo 1

Falai meus amores, bora resolver essa comigo?

Encosta!

a) A figura abaixo mostra a bola sendo lançada do telhado do edifício. Vamos considerar nosso sistema de análise como formado pela bola e pela terra. Então, O trabalho da força externa, W e x t , é igual a zero. Escolhemos U = 0   no nível do solo e podemos então usar conservação de energia mecânica para determinar a altura máxima da bola.

Temos então os seguintes dados:

h 1 = altura inicial da bola

h 2 = altura máxima da bola

h 3 = altura final da bola

v 1 = velocidade de lançamento

Sabemos, lá do lançamento oblíquo de projéteis, que na altura máxima, a velocidade não é nula, mas igual a componente horizontal da velocidade de lançamento, v 1 . Temos então, nesse instante energia cinética e potencial gravitacional. O mesmo ocorre para o instante inicial, já que o lançamento ocorre a uma altura h 1 e obviamente, com uma determinada velocidade.

O que temos que fazer é igualar as energias no instante 1 , de lançamento, e 2 , de altura máxima.

E m e c â n i c a , 1 = E m e c â n i c a , 2

Chamando as energias potencial e cinética em 1 , de U 1 e K 1 , e em 2 , de U 2 e K 2 ; vamos então igualá-las de acordo com o princípio da conservação da energia mecânica.

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

Vamos então usar as fórmulas relativas a cada tipo de energia:

m g h 1 + 1 2 m v 1 2 = m g h 2 + 1 2 m v 2 2

Só que v 2 , lá na altura máxima, nada mais é do que a componente horizontal da velocidade de lançamento dada por v 2 = v 1 cos ⁡ θ . Logo, susbtituindo na relação de antes:

m g h 1 + 1 2 m v 1 2 = m g h 2 + 1 2 m ( v 1 cos ⁡ θ ) 2

2 g h 1 + v 1 2 = 2 g h 2 + ( v 1 cos ⁡ θ ) 2

v 1 2 ( 1 - c o s 2 θ ) = 2 g h 2 - 2 g h 1

2 g h 2 = v 1 2 1 - c o s 2 θ + 2 g h 1

h 2 = v 1 2 1 - c o s 2 θ 2 g + h 1

Substituímos os valores numéricos correspondentes e chegamos a:

h 2 = v 1 2 1 - c o s 2 θ 2 g + h 1

h 2 = ( 30   m / s ) ² 1 - c o s 2 40 ° 2 ( 9,81   m / s ² ) + ( 12   m )

h 2 ≅ 31   m

Resposta

a) A altura máxima é de 31   m .

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