Uma máquina de Atwood consiste em duas massas, m 1 e m 2 , e uma polia sem massa e sem atrito. Partindo do repouso, a rapidez das duas massas chega 4,0   m / s ao final de 3,0 s . Neste tempo, a energia cinética do sistema atinge 80 J e cada massa terá se deslocado uma distância de 6,0 m . Determine os valores de m 1 e m 2 .

Passo 1

Como temos no problema duas incógnitas, m 1 e m 2 , precisamos de duas equações que as relacionem para depois descobri-las:

Passo 2

Vamos começar, relacionando as duas incógnitas, m 1 e m 2 , à energia cinética que é fornecida quando elas estão com a seguinte velocidade:

v = 4 m / s

Vamos lá!

1 2 m 1 v 2 + 1 2 m 2 v 2 = 80   J

m 1 ( 4 ) 2 + m 2 4 2 = 160   J

16 ( m 1 + m 2 ) = 160   J

m 1 + m 2 = 160   J 16   m 2 / s ²

m 1 + m 2 = 10   K g

Passo 3

Como temos duas incógnitas ( m 1   e m 2 ) precisamos de duas equações para montar um sistema.

Para encontrarmos essa nova equação podemos fazer de dois jeitos. Vou mostrar os dois aqui.

A primeira maneira é usando conservação da energia mecânica.

E i = E f

K i + U i = K f + U f

Mas o exercício diz que ambas as massas partem do repouso, então:

K i = 1 2 m 1 v 0 2 + 1 2 m 2 v 0 2 = 0

Além disso, o enunciado também nos diz que K f = 80 J .

Para analisarmos as energias potenciais vamos pensar no seguinte: considerando o zero de energia potencial na posição inicial de 2 e sabendo que ambas as massas se deslocam por 6 metros, temos:

Então:

U i = m 1 g h i 1 + m 2 g h i 2

Assumimos que h i 2 = 0   m , então:

U i = m 1 g h i 1

E

U f = m 1 g h f 1 + m 2 g h f 2

Como h f 1 = 0   m , temos:

U f = m 2 g h f 2

Substituindo isso na equação de conservação de energia mecânica:

K i + U i = K f + U f

m 1 g h i 1 = 80 + m 2 g h f 2

Mas,

h i 1 = h f 2 = 6   m  

Logo:

m 1 g 6 = 80 + m 2 g 6

Resolvendo isso daí:

m 1 - m 2 = 4 3

Show, temos então essas duas equações:

m 1 - m 2 = 4 3

m 1 + m 2 = 10   K g

Resolvendo esse sistemas, encontramos:

m 1 = 5,67   k g

m 2 = 4,33   k g

Maravilha!! Essa foi a primeira form de acharmos as massas, vou mostrar mais uma.

Passo 4

Vamos usar a segunda lei de Newton, para achar a segunda relação que falta entre m 1 e m 2 . Sabemos que a aceleração é a mesma para os dois blocos, certo? Só que enquanto um fio sobe, o outro desce. Por isso, consideremos o sentido positivo para cima:

∑ F = ∑ m ∙ a

Temos então, o seguinte sisteminha, onde P 1 ,   T e P 2 são respectivamente o peso do bloco de massa m 1 , a força de tração e o peso do bloco de massa m 2 .

P 1 - T = m 1 a T - P 2 = m 2 a

Somando então as duas equações do nosso sistema, chegamos a:

P 1 - P 2 = m 1 a + m 2 a

( m 1 - m 2 ) g = a ( m 1 + m 2 )

Só que tem um porém. A questão diz que as massas chegaram a 4,0   m / s ao final de 3,0   s . Ou seja elas foram aceleradas. Encontramos, o meio de achar a aceleração a :

Usando a fórmula da velocidade para o movimento uniformemente acelerado, partindo do repouso temos que:

v t = v 0 + a t

( 4,0   m / s ) = a ( 3,0   s )

a = 4 3   m / s ²

Voltemos à fórmula anterior:

( m 1 - m 2 ) g = 4 3 ( m 1 + m 2 )

3 g ( m 1 - m 2 ) = 4 ( m 1 + m 2 )

3 g m 1 - 4 m 1 = 3 g m 2 + 4 m 2

m 1 3 g - 4 = m 2 3 g + 4

m 1 m 2 = 3 g + 4 3 g - 4

m 1 m 2 = 1,4

m 1 = 1,31 m 2

Tínhamos obtido antes, que: m 1 + m 2 = 10   K g

Opa! Mas que beleza! Só susbtituir agora m 1 = 1,31 m 2 .

1,31 m 2 + m 2 = 10   K g

2,31 m 2 = 10   K g

m 2 = 10 2,4 K g

m 2 = 4,33   K g

E como:

m 1 = 10   K g - m 2

m 1 = 10   K g - 4,33   K g

m 1 = 5,67   K g

Resposta

m 1 = 5,67   K g e m 2 = 4,33   K g  

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