Uma mola, de comprimento natural L 0 e constante elástica k , é montada no interior de um aro circular vertical de raio R . Uma das extremidades da mola está fixa no ponto O e a outra está livre no ponto mais baixo do aro. Um bloco de massa m é empurrado contra a mola, que se desloca ao longo da curva em um arco de ângulo π 3 , até o ponto A , como mostrado na figura. O bloco é então liberado, a partir do repouso. O atrito entre o bloco e o aro é desprezível. Adote o referencial da figura, com origem em B .

a ) Obtenha uma expressão para a energia mecânica do bloco no ponto A em termos de m , R , k , g e π .

b ) Determine o valor mínimo de k para que o bloco consiga executar a curva completa, passando pelo ponto C sem cair.

c ) Sabendo-se que a partícula possui energia mecânica E no ponto A , obtenha uma expressão para a velocidade do bloco no trecho B C em função do ângulo θ , R , m , E e g .

Dado: sen ⁡ π 3 = 3 2 , cos ⁡ π 3 = 1 2 .

Passo 1

a )

No ponto A temos energia potencial gravitacional e energia potencial elástica:

E A = m g h + 1 2 k ∆ l 2

Primeiro precisamos descobrir quanto vale h . Observando a circunferência com carinho e o ângulo que o bloco faz com o centro vemos que:

h = R - R . cos ⁡ π 3

h = R 1 - 0,5

h = R 2

Ainda falta descobrirmos quanto vale ∆ l , que é justamente quanto a mola se comprimiu. Pela figura vemos que ela se comprimiu uma distancia equivalente ao comprimento de uma seção π 3 da circunferência. Podemos encontrar essa seção fazendo:

∆ l = θ . R

∆ l = π R 3

Agora sim! Já temos tudo que precisamos. Vamos substituir na equação da energia.

E A = m g R 2 + 1 2 k π R 3 2

E A = m g R 2 + k π 2 R 2 18

Passo 2

b )

Bem, para chegar até o ponto C , o corpo precisara ter energia potencial gravitacional e energia cinética suficiente.

E C = m g h + 1 2 m v C 2

E C = m g . 2 R + 1 2 m v C 2

Para que o bloco não perca o contato com a circunferência no ponto C , devemos ter pelo menos a força centrípeta idêntica ao peso.

P = F c

m g = m v C 2 R

v C 2 = R g

Agora podemos substituir na equação de energia do ponto C .

E C = 2 m g R + 1 2 m g R

E C = 5 2 m g R

Agora, para achar o valor de k , basta igualar a energia do ponto C com a energia do ponto A , utilizando o principio de conservação de energia mecânica.

E C = E A

5 2 m g R = m g R 2 + k π 2 R 2 18

2 m g R = k π 2 R 2 18

k = 36 m g π 2 R

Passo 3

c )

Energia mecânica no trecho B C :

E B C = E p + K

E B C = m g R 1 - cos ⁡ θ + 1 2 m v 2

Aplicando conservação de energia mecânica

E B C = E A = E

m g R 1 - cos ⁡ θ + 1 2 m v 2 = E

1 2 m v 2 = E - m g R 1 - cos ⁡ θ

v = 2 E m - 2 g R 1 - cos ⁡ θ

Resposta

a )   E A = m g R 2 + k π 2 R 2 18

b )   k = 36 m g π 2 R

c )   v = 2 E m - 2 g R 1 - cos ⁡ θ

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