Enunciado

Num parque de diversões, um carrinho desce sem atrito de uma altura h para dar a volta num loop circular de raio R , conforme mostrado na figura.

  1. Qual é o menor valor de h (chame este valor h 1 ) necessário para que o carrinho faça a volta completa do loop?
  2. Se R   <   h   < h 1 , o carrinho cai do trilho em um ponto B, quando ainda falta percorrer mais um ângulo θ para chegar até o topo A. Calcule θ .
  3. Suponha que agora, por alguma razão, haja atrito cinético entre o carrinho e o trilho. Sabendo que o carrinho foi solto (no repouso) da altura h   =   2 R e que ele passou no ponto C do loop com velocidade escalar v c , qual é o trabalho realizado pela força de atrito até o ponto C?

Passo 1

Essa é uma questão que envolve principalmente conservação da energia mecânica e Leis de Newton. Os dados que nos deram foram:

R a i o = R

A c e l e r a ç ã o   d a   g r a v i d a d e = g

Passo 2

  1. A menor altura h 1 é aquela que a normal no ponto mais alto da trajetória, nesse caso no ponto A, é zero.

Ué, mas por quê?

Normal nada mais é que uma força de contato entre dois corpos, quando um objeto está na iminência de perder o contato a normal é nula, sacou?

Daí, fazendo o diagrama de forças, podemos observar que:

Como o nosso carrinho está em um movimento de rotação em torno de um ponto,fazendo uma órbita circular de raio R, podemos dizer que, naquele ponto, a componente centrípeta é apenas o peso, pois:

F → = m a c p → = m g →

Como no ponto A, os vetores gravidade e aceleração centrípeta apontam para baixo, podemos cortar os vetores unitários e utilizar apenas os escalares, na forma:

a c p = g

Mas, mano! Pra que isso se nessa relação nem apareceu o h 1 ?

Passo 3

Sabemos ainda que a aceleração centrípeta pode ser calculada por:

a c p = v 2 R

E daí concluímos nossa primeira equação:

v 2 R = g

v 2 = R g

Passo 4

Mas, mano! Pra que isso se nessa relação nem apareceu o h 1 ?

Saca só! Podemos também utilizar a conservação da energia mecânica que vai aparecer um termo com “ v ” e com “ h ”. Daí a gente corta tudo! Bora ver?

Sendo K = m v 2 2 e U = m g h , teremos:

Cortando os “ m ” e ajeitando as contas, teremos:

v 2 2 = g h 1 - 2 R

Passo 5

Mas a gente viu que v ² = R g lá no Passo 3, daí, substituindo, teremos:

R g 2 = g h 1 - 2 R

R = 2 h 1 - 4 R

h 1 = 5 2 R

Passo 6

b)

Este caso teremos a mesma causa da questão a, porém em uma situação diferente. Com h < h 1 teremos que ele não vai chegar no ponto A, logo a normal será zero antes do ponto A. Vamos ver o diagrama de forças na figura abaixo:

Podemos notar que, como não há normal, somente haverá a força peso como força resultante. Decompondo-a em resultante centrípeta P x e tangencial P y e aplicando as Leis de Newton, teremos:

P y = m a t g

P x = m a c p

Como a parte tangencial pouco interessa para a gente, vamos trabalhar com a parte centrípeta!

P x = m g c o s θ = m a c p

g c o s θ = a c p

g c o s θ = v 2 R

v ² = R g c o s θ

Passo 7

Agora, como na letra a, vamos utilizar a conservação da energia cinética para achar uma relação entre v e h .

Pela conservação da Energia Cinética, teremos:

m g h = m v 2 2 + m g h o

Passo 8

Sendo o h o a altura em que o carrinho se desligará do percurso. Para achar h o em função das demais variáveis, podemos notar que:

h o = R + x

Ah, mas da relação da figura acima, podemos ver que x = R c o s θ , logo:

h o = R + R c o s θ = R [ 1 + c o s θ ]

Jogando na equação do passo anterior, a gente vai ter:

g h = v 2 2 + g R [ 1 + c o s θ ]

Passo 9

Da equação que encontramos no Passo 6, a gente vai ter:

g h = R g c o s θ 2 + R g + R g c o s θ

h = R [ 3 2 c o s θ + 1 ]

Por fim, isolando o θ ...

2 3 h R - 1 = c o s θ

θ = arccos ⁡ 2 3 h R - 1

Passo 10

c)

Pois bem! Aqui ele nos diz que o carrinho desce de uma altura h = 2 R , passa por um atrito maroto até chegar no ponto C, com altura R e velocidade v c .

Vamos pensar da seguinte forma:

Inicialmente só temos a energia potencial U i que ao ser solto gerará movimento, certo?

Em seguida, ele vai ser freado pelo atrito e pela subida até a altura R chegando em c com velocidade v c .

Dá pra enxergar uma relação do “antes-depois”, que será dada por:

W F a t = K + U f - U i

W F a t = K + U f - U i = m v c 2 2 - m g 2 R + m g R = m v c 2 2 - m g R  

Resposta

  1. h 1 = 5 2 R
  2. θ = arccos ⁡ 2 3 h R - 1
  3. W F a t = m v c 2 2 - m g R  

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