Seja um plano inclinado de um ângulo θ com a horizontal, com coeficientes de atrito cinético e estático iguais a μ C e μ E , respectivamente. No seu topo, um objeto de massa m é mantido em repouso através de um freio. Ele está conectado a um cabo que passa por uma roldana e que está preso a uma mola na vertical de constante elástica desconhecida. A outra extremidade da mola está presa ao solo. Nesta situação a mola está relaxada. Quando o freio é retirado, o objeto desliza plano abaixo uma distância x até ser parado pela força da mola esticada.

Considerem o cabo, a roldana e a mola sem massa e ideais. Responda em função dos dados do problema.

a) Determine a variação da energia cinética do objeto do início ao final do trajeto.

b) Determine a variação da energia potencial gravitacional do objeto do início ao final do trajeto.

c) Determine o trabalho realizado pelo atrito do início ao final do trajeto.

d) Escreva para esta situação específica a equação de conservação de energia apropriada.

e) Determine a energia potencial elástica armazenada na mola ao final do trajeto.

Passo 1

Tem um bloquinho que está com um freio (finge que é esse triâgulo em vermelho), ele tá impedindo o bloco de descer..Então é mais ou menos isso aí que está na figura 1.

Aí em um certo momento eles tiram o triângulo e o bloco desce e, consequentemente, o fio que tava preso no bloco puxa a mola, como mostra a figura 2:

Figura 1Figura 2

Beleza, entendemos o que acontece nesse processo...Vamos ver o que a letra a tá pedindo.

Passo 2

a)Avariação da energia cinética entre aqueles dois pontos lá que eu mostei nas figuras 1 e 2. Naqueles pontos, qual é a velocidade do bloquinho?

Olha, no início, tem o freio então ele tá parado, logo: v i = 0 . Então

K i = 0

Na figura dois o bloquinho tá parado, porque a mola tá segurando ele. Olha lá no enunciado, ele fala pra gente que o bloquinho parou, por isso

K f = 0

Logo,

Δ K = 0

Passo 3

b) Agora a gente quer saber Δ U g = m g H i - m g H f .

Mas quais são os valores dessas alturas? É x ? Não!! Olha só quem é o x e quem são as alturas:

Maravilha, esse d que está ali eu inventei... só para dar um nome para aquele comprimento, porque vamos precisar dele para achar as alturas. Porque nós temos dois triângulos retângulos ali. Então calculando o s e n   θ para os dois ttriângulos:

s e n   θ = H f d e s e n   θ = H i x + d

Isolando o H f e o H i , e substituindo os valores lá na equação da energia potencial, a gente fica com:

U g f = m g d   s e n θ

U g i = m g x + d s e n θ = m g x s e n θ + m g d s e n θ

Show de bola? Show of ball! Agora calculando a variação:

∆ U g = m g d s e n θ - m g x s e n θ - m g d s e n θ

∆ U g = - m g x s e n θ

Viu como o d nem apareceu na resposta! Foi só para ajudar mesmo, mas como ele não é dado do problema, não pode aparecer na resposta!

Passo 4

c)

Ele tá querendo o trabalho que a F a t faz no processo. O trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento, mas relaxa...não é difícil...é essa relação:

W = F →   ∙ d → = F   d cos ⁡ α

Esse α é o ângulo entre a força e o deslocamento. Então o que a gente tem que saber é para

onde a força, nesse caso a F a t , tá apontando.Vamos fazer o diagrama de forças para o bloco:

Como o deslocamento é pra baixo, o atrito tá pra cima, logo eles estão em sentido opostos. Assim, α = π . Lembrando que F a t = μ c N = μ c   m g cos ⁡ θ e o deslocamento vale x :

W = F a t   d cos ⁡ α

W = μ C N   x   - 1

W = - μ c   m g x cos ⁡ θ  

Pronto! É isso aí.

Passo 5

d)

Quando você pensar em conservação de energia, faz a seguinte pergunta: “Tem alguma força dissipativa roubando energia do nosso sistema?”

E aí?

Tem?

A F a t é uma força dissipativa e tá realizando trabalho (como a gente viu na letra c), então a F a t tá roubando energia do sistema...Logo a energia mecância do final não é igual a energia mecânica inicial, e a diferença entre esses valores é essa energia que a F a t roubou. Sacou?

Δ E = W F a t

O bloco se movimenta, então tem Δ K . Ele muda de altura, então tem Δ U g . Ele estica uma mola, então tem Δ U e l á s t i c o .

Δ U g + Δ U e l á s t i c o + Δ K = W F a t

Passo 6

Ele tá pedindo a energia elástica no final do processo, ou seja, ele quer que a gente encontre U e l á s t i c o f . Com a equação quea gente montou na letra d fica moleza, acompanha comigo:

Δ U g + Δ U e l á s t i c o + Δ K = W F a t

Δ U e l á s t i c o = W F a t - Δ U g - Δ K

U e l á s t i c o f - U e l á s t i c o i = W F a t - Δ U g - Δ K

A gente viu na letra a que Δ K = 0 .

Vimos na letra b que Δ U g = - m g x   s e n θ

Vimos na letra c que W F a t = - μ c   m g x cos ⁡ θ  

E como no início, já temos o freio, a mola não ta nem comprimida nem esticada, então U e l á s t i c o i = 0 .

Então:

U e l á s t i c o f - 0 = - μ c   m g x cos ⁡ θ   + m g x   s e n θ - 0

U e l á s t i c o f = m g x ( s e n θ - μ c cos ⁡ θ )  

Só sucesso!

Passo 7

Resposta

a) Δ K = 0

b) ∆ U g = - m g x s e n θ

c) W = - μ c m g x cos ⁡ θ

d) Δ U g + Δ U e l á s t i c o + Δ K = W F a t

e) U e l á s t i c o f = m g x ( s e n θ - μ c cos ⁡ θ )  

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