Ache a área delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares:

b)

r = 2 + cos ⁡ θ para θ ∈ π 2 , π

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar a área nos intervalos de π / 2 a π da seguinte função dada em coordenadas polares:

r = 2 + cos ⁡ θ

Mas antes, vamos entender um pouquinho sobre as coordenadas polares.

Na coordenada polar, um ponto é representado por sua distância do ponto de origem ( r ) e pelo ângulo formado com o eixo x positivo ( θ ), ou seja:

Assim, através da trigonometria, podemos observar as seguintes relações:

θ = tan - 1 ⁡ y x

r = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Nesse sentido, vale lembrar que a área A de uma função f ( θ ) (em um intervalo [ a , b ] ) dada em coordenadas polares é dada por:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2   d θ  

Dessa forma, temos que aplicar nossa função nessa fórmula!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, pelo que o enunciado nos deu, temos que:

f θ = r = 2 + cos ⁡ θ

Nesse sentido, aplicando o intervalo de integração que também nos foi dado, temos que a nossa área é dada por:

A = ∫ π / 2 π 1 2 2 + cos ⁡ θ 2   d θ   ∴

A = 1 2 ∫ π / 2 π 4 + 4 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ   d θ   ∴

A = 1 2 ∫ π / 2 π 4   d θ   + ∫ π / 2 π 4 cos ⁡ θ   d θ   + ∫ π / 2 π cos 2 ⁡ θ   d θ   ∴

Utilizando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 , temos:

A = 1 2 ∫ π / 2 π 4   d θ   + ∫ π / 2 π 4 cos ⁡ θ   d θ   + ∫ π / 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2   d θ   ∴

A = 1 2 ∫ π / 2 π 4   d θ   + ∫ π / 2 π 4 cos ⁡ θ   d θ   + ∫ π / 2 π 1 2   d θ   + ∫ π / 2 π cos ⁡ 2 θ 2   d θ   ∴

A = 1 2 4 θ + 4 sin ⁡ θ + θ 2 + sin ⁡ θ 4 π π / 2

A = 1 2 2 π + π - 1 4 - 4 ∴

A = 9 π - 17 8

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = 9 π - 17 8

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