Considere a curva em coordenadas polares

r θ = s e n θ + cos ⁡ θ

Calcule a área delimitada por esta curva quando θ varia de 0   a   π / 2 .

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos a nossa área, vamos usar a fórmula:

A = ∫ t 1 t 2 1 2 r ² ( θ ) d θ

Pelo enunciado, temos que

r θ = s e n θ + cos ⁡ θ

Então:

A = ∫ 0 π / 2 1 2 s e n θ + cos ⁡ θ 2 d θ

Show? Então vamos trabalhar em cima dessa fórmula.

Passo 2

Vamos lá. Para começar, vamos abrir o nosso polinômio:

A = ∫ 0 π / 2 1 2 s e n θ + cos ⁡ θ 2 d θ

A = ∫ 0 π / 2 1 2 s e n 2 ( θ ) + 2 s e n θ cos ⁡ θ + c o s 2 θ d θ

Aqui vamos usar a identidade trigonométrica:

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Logo:

A = ∫ 0 π / 2 1 2 1 + 2 s e n θ cos ⁡ θ d θ

Vamos usar também a relação trigonométrica:

s e n 2 θ = 2 s e n θ cos ⁡ θ

Então:

A = ∫ 0 π / 2 1 2 1 + s e n 2 θ d θ

Calculando:

A = 1 2 θ - cos ⁡ 2 θ 2 | 0 π / 2

A = 1 2 π 2 - cos ⁡ π 2 - 0 2 - cos ⁡ 0 2

A = 1 2 π 2 + 1 2 - 0 - 1 2

A = 1 2 π 2 + 1 = π 4 + 1 2

Resposta

A = π 4 + 1 2

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