Determine o volume do sólido sob o paraboloide z = x 2 + y 2 acima do plano x y e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 y

Passo 1

Calcular o volume entre a função f x , y = x 2 + y 2 e o plano x y dentro de uma região D é o mesmo que calcular

∬ D ( x 2 + y 2 ) d x d y

Essa região D aí para o nosso problema é limitada pelo cilindro que a gente pode pensar como sendo uma repetição ao longo do eixo z da circunferência de equação

x 2 + y 2 = 4 y

Passo 2

Como a nossa região de integração é uma circunferência e a gente possui termos de x 2 e y 2 na nossa integral, vale a pena a gente ir para as coordenadas polares:

x = r c o s   θ

y = r   s e n   θ

J = r  

Passo 3

Para podermos transformar a nossa integral numa integral que a gente saiba resolver a gente precisa dar uma olhada nos limites de integração. A nossa equação do círculo está um pouco estranha ainda. Isso é porque nosso cilindro não está centrado na origem. Vamos mexer nessa equação para descobrir seu centro

x 2 + y 2 - 4 y = 0

Completamos o quadrado em y adicionando 4 em ambos os lados da igualdade

x 2 + y 2 -   4 y + 4 = 4

x 2 + y - 2 2 = 4

Que é a equação de uma circunferência de raio 2 com centro em ( 0,2 ) . A gente pode fazer um esboço para entender melhor nossos limites

Como pode ser visto na figura acima e lembrando como as coordenadas polares se comportam através da seguinte imagem

Podemos concluir que para varrer essa região toda, o nosso θ tem que variar de 0 até 180 º ou π . O raio que vai ter que virar alguma função diferente aí já que ele vai ter que desenhar esse círculo que a gente representou. Para descobrir seu limite, a gente usa as definições de x e y na equação do círculo que nos foi dada

x 2 + y 2 = 4 y

Lembrando que nas coordenadas polares temos x 2 + y 2 = r 2 temos então

r 2 = 4   r . s e n θ r = 4   s e n   θ

Então a nossa região fica compreendida com

D = r ,   θ 0 ≤ r ≤ 4   s e n   θ ,   0 ≤ θ ≤ 2 π }

Passo 4

Vamos montar a integral em coordenadas polares ∬ D ( x 2 + y 2 ) d x d y =   ∫ 0 π ∫ 0 4   s e n θ r 2 . r   d r   d θ

=   ∫ 0 π ∫ 0 4   s e n θ r 3   d r   d θ

Passo 5

Como nossa integral é iterada, podemos resolver isoladamente a integral em r primeiro:

∫ 0 4   s e n   θ r 3 d r   = r 4 4 0 4 s e n   θ = 4 4 s e n 4 θ 4 = 4 3   s e n 4 θ

Devolvendo esse resultado na nossa integral temos

∫ 0 π ∫ 0 4   s e n θ r 3   d r   d θ =   ∫ 0 π 4 3   s e n 4 θ d θ = 64   ∫ 0 π s e n 4 θ d θ  

Para resolver essa integral usamos que s e n 2 θ = 1 -   cos ⁡ θ 2

=   64   ∫ 0 π 1 -   cos ⁡ θ 2 2 d θ = 64 4 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ θ 2 d θ = 16   ∫ 0 π 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Usando cos 2 ⁡ θ = 1 +   2 cos ⁡ θ 2 , temos

=   16   ∫ 0 π 1 - 2 cos ⁡ θ + 1 +   cos ⁡ θ 2 d θ = 8   ∫ 0 π 2 - 4 cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ θ d θ = 8   ∫ 0 π ( 3 - 3 cos ⁡ θ )   d θ = 24   .   θ - s e n   θ 0 π = 24   π

Resposta

24 π

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