Calcule ∫ - 2 2 ∫ -   4 - x 2 4 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 x 2 + y 2   d z   d y   d x .

Passo 1

Vamos resolver a integração em z primeiro. Como a função a ser integrada não depende de z temos

∫ - 2 2 ∫ -   4 - x 2 4 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 x 2 + y 2   d z   d y   d x =   ∫ - 2 2 ∫ -   4 - x 2 4 - x 2 x 2 + y 2 z | x 2 + y 2 2     d y   d x  

= ∫ - 2 2 ∫ -   4 - x 2 4 - x 2 x 2 + y 2   2 -   x 2 + y 2     d y   d x    

Passo 2

Que integral horrorosa para resolvermos hein?! Mas calma lá... com esse monte de x 2 e y 2 a gente começa a suspeitar que podemos usar as coordenadas polares. Dá uma olhada nos limites de integração:

O x   varia entre -2 e 2 e o y varia entre as funções

y =   -   4 - x 2     e   y =   4 - x 2    

Se elevarmos as duas funções ao quadrado, temos

y 2 = 4 - x 2   o u   x 2 + y 2 = 4

Que é exatamente a equação de um círculo de raio 2. Olha só como a nossa região de integração fica

Logo, ir para as coordenadas polares vai ser uma boa ideia. Essa região pode ser descrita se usarmos

x = r . c o s θ   y = r . s e n θ

Onde r   é o raio do círculo e θ é o ângulo que cresce a partir da parte positiva do eixo x no sentido anti-horário. Essas variáveis estão definidas nos intervalos

0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2   π

Passo 3

Para podermos mudar as coordenadas na nossa integral, precisamos saber como aqueles d y d x mudam nas coordenadas polares. Toda vez que a gente sai das coordenadas x   e y para as coordenadas r e θ teremos

d y d x = J . d r d θ

Onde o J é o módulo do determinante do Jacobiano. Nas coordenadas polares é conhecido que

J = r

Agora temos tudo em mãos para reescrevermos a nossa integral. Ficamos com

∫ - 2 2 ∫ -   4 - x 2 4 - x 2 x 2 + y 2   2 -   x 2 + y 2     d y   d x   =   ∫ 0 2 π ∫ 0 r … r d r d θ

A única coisa que nos resta é como essa função x 2 + y 2   2 -   x 2 + y 2 vai ficar quando eu usar

x = r . c o s θ   y = r . s e n θ

Mas relaxa, você pode usar esses valores de x e de y na integral sem problema nenhum mas é mais fácil você lembrar da equação do círculo:

x 2 + y 2 = r 2

E esses termos aparecem direto na nossa integral. Escrevemos então

∫ - 2 2 ∫ -   4 - x 2 4 - x 2 x 2 + y 2   . 2 -   x 2 + y 2     d y   d x   =   ∫ 0 2 π ∫ 0 r r 2 . 2 - r 2 . r d r d θ

Passo 4

Viu que nossa integral monstruosa virou essa integral mais simpática aqui?

  ∫ 0 2 π ∫ 0 r r 2 . 2 - r 2 . r d r d θ =     ∫ 0 2 π ∫ 0 r r 3 . 2 - r d r d θ =   ∫ 0 2 π ∫ 0 r 2 r 3 - r 4 d r d θ

Essa é uma integral iterada e a gente pode resolvê-la primeiro resolvendo a integral em r separadamente

∫ 0 2 π ∫ 0 r 2 r 3 - r 4 d r d θ =   ∫ 0 2 π 2 . r 4 4 - r 5 5 r = 0 r = 2   d θ     ∫ 0 2 π 2 . 2 4 4 - 2 5 5 - 0 d θ =     ∫ 0 2 π 2 5 1 4 - 1 5 d θ =   ∫ 0 2 π 2 5 20 d θ

Passo 5

Agora podemos resolver a integral em θ

∫ 0 2 π 2 5 20 d θ = 2 5 20 θ 0 2 π = 2 5 20 . 2 π =   2 5 π 10 =   2 4 π 5 = 16 π 5  

Resposta

16 π 5

Exercícios de Livros Relacionados

Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos. P a r á b o l a , v é r t i c ee m4 ,3 π 2 á é
O cometa Hale-Bopp, descoberto em 1995 , tem uma órbita elíptica com excentricidade 0,9951 e o comprimento do eixo maior é 356,5A U . Encontre uma equação polar para a órbita desse cometa. Quão perto
A órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse com excentricidade 0,093 e semieixo maior 2,28.10 8k m . Encontre uma equação polar da órbita.
A órbita do cometa Halley, visto pela última vez em 1986 e com retorno esperado para 2062 , é uma elipse com excentricidade 0,97 e com um foco no Sol. O comprimento do eixo maior é 36,18A U . [Uma uni
Usar r0 e- 2 πθ ≤ 0 Para escrever os pontos P 1 3 , - 1 e P 2 - 2 ,- 2 em coordenadas polares.