Considere a curva em coordenadas polares, dada por

r = 3 + 2 s e n θ

  1. Faça um esboço da curva
  2. Encontre a área que ela delimita no 1º quadrante

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou facilitar para você! O problema nos deu uma curva em coordenadas polares:

r = 3 + 2 s e n θ

E pediu duas coisas: um esboço dessa curva e a área que ela delimita no primeiro quadrante.

Para esboçar essa curva, é interessante que a gente saiba alguns pontos chave: valores de r para alguns ângulos. Eu sugeriria alguns:

θ = 0 , π 4 , π 2 , 3 π 4 ,   π , 5 π 4 , 3 π 2 , 7 π 4 , 2 π

Encontrando os valores de r nesses pontos, teremos como a curva se comporta em cima dos eixos ordenados 0 , π 2 ,   π , 3 π 2 , 2 π e na metade dos quatro quadrantes π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 .

Com esses valores na mão, é só jogar o gráfico e unir os pontos! Lembrando que o seno tem característica de ser uma função suave, então aqui não tem bicos!

Na segunda parte, determinar a área é partir para a integração! Lembrando que o diferencial de área em coordenadas polares é d A = r d r d θ , aplicar os limites apropriados!

O r varia entre 0 e a expressão dada r = 3 + 2 s e n θ e o primeiro quadrante nos diz que 0 ≤ θ ≤ π 2 .

Beleza?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você! Vamos lá?

Passo 2

Letra (a):

Para fazer o esboço, vamos calcular os valores de r correspondentes com os ângulos que comentei com você lá no passo anterior!

A curva r dada foi:

r = 3 + 2 s e n θ

Os valores de θ que vamos calcular são:

θ = 0 , π 4 , π 2 , 3 π 4 ,   π , 5 π 4 , 3 π 2 , 7 π 4 , 2 π

Então, vamos começar?

Para θ = 0 :

r = 3 + 2 s e n   0 = 3

r 0 = 3

Para θ = π 4 :

r = 3 + 2 s e n π 4 = 4,41

r π 4 = 4 / 41

Para θ = π 2 :

r = 3 + 2 s e n π 2 = 5

r π 2 = 5

Esses foram os principais pontos do primeiro quadrante. Vamos para o segundo quadrante?

Para θ = 3 π 4 :

r = 3 + 2 s e n   3 π 4 = 3

r 3 π 4 = 4,41

Para θ = π :

r = 3 + 2 s e n π = 3

r π = 3

Agora para o terceiro:

Para θ = 5 π 4 :

r = 3 + 2 s e n 5 π 4 = 1,58

r 5 π 4 = 1,58

E para θ = 3 π 2 :

r = 3 + 2 s e n 3 π 2 = 1

r 3 π 2 = 1

E por fim, para o quarto:

Para θ = 7 π 4 :

r = 3 + 2 s e n 7 π 4 = 1,58

r 7 π 4 = 1,58

E em θ = 2 π temos o mesmo valor que em θ = 0 :

r 2 π = 3 + 2 s e n 2 π = 3

Ufa! Conseguimos calcular todos esses pontos!

o próximo passo é reunir todos esses dados e esboçar essa curva!

Passo 3

Os valores que calculamos são:

r 0 = 3

r π 4 = 4,41

r π 2 = 5

r 3 π 4 = 4,41

r π = 3

r 5 π 4 = 1,58

r 3 π 2 = 1

r 7 π 4 = 1,58

r 2 π = 3

E agora vamos reunir esses pontos em um esboço:

Olha que bonitinha! Está aí nossa curva!

Vamos para a letra (b)?

Passo 4

Letra (b):

Agora o problema pede para calcularmos a área que essa curva compreende no primeiro quadrante.

Bom, como estamos falando em coordenadas polares, precisamos usar o diferencial de área em polares:

d A = d x d y r e t a n g u l a r e s = r d r d θ ( p o l a r e s )

A área no primeiro quadrante tem 0 ≤ θ ≤ π / 2 ! E o r ? Bom, como vemos na figura, r varia de 0 até a curva r = 3 + 2 s e n θ mesmo. Então os limites de integração são:

r e g i ã o   R : 0 ≤ θ ≤ π 2 0 ≤ r ≤ 3 + 2 s e n θ

Assim a área que precisamos calcular é:

A = ∬ R r   d r   d θ

Substituindo os limites de integração temos:

A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 r   d r   d θ 3 + 2 s e n θ

Certo? #partiuintegrar

Passo 5

Agora vem a parte braçal: integrar essa área!

Vamos começar com a integral de dentro, em r :

∫ 0 3 + 2 s e n θ r   d r = r 2 2 0 3 + 2 s e n θ = 3 + 2 s e n θ 2 2

Beleza?

θ .

3 + 2 s e n θ 2 2 = 1 2 9 + 12 s e n θ + 4 s e n 2 θ

Mas s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 , então:

3 + 2 s e n θ 2 2 = 9 2 + 6 s e n θ + 1 4 - 1 4 cos ⁡ 2 θ = 19 4 + 6 s e n θ - 1 4 cos ⁡ 2 θ

Agora que temos o integrando de forma mais simplificada (e sem nenhum r , o que é muito importante!) vamos substituir isso na integração em θ !

Passo 6

A área que precisamos calcular era:

A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 r   d r   d θ 3 + 2 s e n θ

Resolvemos a integral de dentro, agora vamos para a de fora:

A = ∫ 0 π 2 19 4 + 6 s e n θ - 1 4 cos ⁡ 2 θ d θ = 19 4 θ + 6 - c o s θ - 1 2 s e n 2 θ 0 π 2

Beleza? E por fim precisamos aplicar os limites:

A = 19 π 8 + 6 - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ 0 - 1 2 s e n π - s e n 0 = 19 π 8 + 6 = 19 π + 48 8

A = 19 π + 48 8

Ufa! Terminamos! Aqui está a área que essa curva delimita no primeiro quadrante!

Tranquilo?

Bora pra próxima?

Resposta

a )   e s b o ç o   d a   c u r v a :

b )   A = 19 π + 48 8

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