Ache a área delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares:

d)

r = log ⁡ θ para θ ∈ 1,2 π

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar a área nos intervalos de 1 a 2 π da seguinte função dada em coordenadas polares:

r = log ⁡ θ

Mas antes, vamos entender um pouquinho sobre as coordenadas polares.

Na coordenada polar, um ponto é representado por sua distância do ponto de origem ( r ) e pelo ângulo formado com o eixo x positivo ( θ ), ou seja:

Assim, através da trigonometria, podemos observar as seguintes relações:

θ = tan - 1 ⁡ y x

r = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Nesse sentido, vale lembrar que a área A de uma função f ( θ ) (em um intervalo [ a , b ] ) dada em coordenadas polares é dada por:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2   d θ  

Dessa forma, temos que aplicar nossa função nessa fórmula!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, pelo que o enunciado nos deu, temos que:

f θ = r = log ⁡ θ

Nesse sentido, aplicando o intervalo de integração que também nos foi dado, temos que a nossa área é dada por:

A = ∫ 1 2 π 1 2 log ⁡ θ 2   d θ   ∴

A = 1 2 ∫ 1 2 π log ⁡ θ   d θ   ∴

Fazendo u = log ⁡ θ ∴ d u = 1 θ ln ⁡ 10 e v = θ ∴ d v = d θ , aplicando a integral por partes, temos:

A = 1 2 θ * log ⁡ θ - ∫ θ θ ln ⁡ 10 d θ 2 π 1 ∴

A = 1 2 θ * log ⁡ θ - ∫ 1 ln ⁡ 10 d θ 2 π 1 ∴

A = 1 2 θ * log ⁡ θ - θ ln ⁡ 10 2 π 1 ∴

A = - 2 π + 2 π ln ⁡ 2 π + 1 2 ln ⁡ 10

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = - 2 π + 2 π ln ⁡ 2 π + 1 2 ln ⁡ 10

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