Use as coordenadas polares ( r ,   θ ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ e r 2 = x 2 + y 2 , e a regra de L’Hospital para encontrar os limites abaixo. Observe que quando x ,   y → ( 0 ,   0 ) o r → 0 .

b) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ 1 - cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função 1 - cos ⁡ ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 , quando ( x ,   y ) tende ao ponto ( 0 ,   0 ) , usando as coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ r 2 = x 2 + y 2

E usando também a regra de L’Hospital. Então, vamos substituir as expressões para x e y na função e depois (se necessário) usar L’Hospital (derivando numerador e denominador separadamente) para simplificar a função e aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos dar uma olhadinha no nosso limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Substituindo r 2 = x 2 + y 2 na função, temos:

lim r → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ r 2 r 2

Aplicando a regra de L’Hospital agora, derivando a função em cima e embaixo separadamente, temos:

lim r → 0 ⁡ 2 r sin ⁡ ( r 2 ) 2 r

Simplificando:

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ r 2

E aplicando o limite:

= sin ⁡ 0 2 = sin ⁡ 0

= 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

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