Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares.

b) ρ = e - θ ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos o comprimento da curva dada em coordenadas polares:

ρ = e - θ ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Para isso, devemos saber que a fórmula para o comprimento de uma curva C em coordenadas polares é:

C = ∫ a b ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Dessa forma, com base nos dados do enunciado, temos:

ρ 2 = e - θ 2 ∴

ρ 2 = e - 2 θ

E

d ρ d θ = - e - θ

Logo, substituindo na integral e aplicando o intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π que foi dado, temos:

∫ 0 2 π e - 2 θ + - e - θ 2 d θ

Desenvolvendo a integral, temos:

= ∫ 0 2 π e - 2 θ + e - 2 θ d θ ∴

= ∫ 0 2 π 2 e - 2 θ d θ ∴

= ∫ 0 2 π e - θ 2 d θ

Resolvendo a integral simples e substituindo os limites de integração, encontraremos:

= 2 1 - e - 2 π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

2 1 - e - 2 π

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