Encontre a equação polar das curvas em coordenadas cartesianas abaixo:

c)

x 2 + y 2 = y

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrarmos a equação polar da seguinte curva dada em coordenadas cartesianas:

x 2 + y 2 = y

Para isso, temos que ter em mente as seguintes relações entre os dois tipos de coordenadas:

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, pelas equações mostradas no Passo 1, vemos que:

x = r cos ⁡ θ

E que:

y = r sin ⁡ θ

Assim, substituindo x e y , temos:

r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 = r sin ⁡ θ ∴

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ = r sin ⁡ θ

Colocando o r 2 em evidência, temos:

r 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = r sin ⁡ θ

Podemos simplificar o r de tal forma que:

r sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = sin ⁡ θ

Por outro lado, vale lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Portanto, temos:

r * 1 = sin ⁡ θ ∴

r = sin ⁡ θ

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

r = sin ⁡ θ

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