Considerando a superfície S dada pela porção do cone z = x 2 + y 2 limitada pelos planos z = 1 e z = 4 .a) Parametrize S usando coordenadas polares.

Passo 1

Fala aí! Esse problema tá dando uma superfície z = x 2 + y 2 que é a equação de um cone, mas o problema limita esse cone para z = 1 e z = 4 . Olha ele quer que a gente reescreva essa superfície usando as coordenadas polares que são essas aqui: x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ

A gente só precisa entender melhor o que esses limites que o problema nos deu fazem com essas coordenadas e com o z que a gente ainda não sabe.

Passo 2

Para   z = 1 temos que a equação do cone fica

1 = x 2 + y 2   Elevando ambos os lados ao quadrado temos

1 = x 2 + y 2

Que é a equação de um círculo de raio 1 .   Agora a gente pode fazer a mesma coisa para z = 4 e teremos

4 = x 2 + y 2   Elevando ambos os lados ao quadrado temos

16 = x 2 + y 2

Que é a equação de um círculo de raio 4 .   Isso nos leva a entender que a superfície que estamos interessados é uma sucessão de vários círculos com raios diferentes que vão desde r = 1 até r = 4

1 ≤ r ≤ 4  

Passo 3

Agora a gente vai ver como que o z fica nessas coordenadas aí. Usando as coordenadas polares na equação do cone temos

z = x 2 + y 2 z = r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ   2 = r 2 cos 2 ⁡ θ   + r 2 sin 2 ⁡ θ z = r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = r 2 z = r

Então, nas coordenadas polares, temos que a altura da nossa figura cresce junto com o raio dos círculos.

Passo 4

Como vimos que a superfície é limitada por um círculo de raio 1 e um círculo de raio 4 ela fica descrita por

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = r ,     1 ≤ r ≤ 4     e   0 ≤ θ ≤ 2 π  

Então a curva parametrizada que descreve essa curva é

r → θ ,   r = x r , θ i +   y r , θ j +   z r , θ k r → θ ,   r = r cos ⁡ θ i +   r sin ⁡ θ j +   r k

Com 1 ≤ r ≤ 4     e   0 ≤ θ ≤ 2 π .

Resposta

r → θ ,   r = r cos ⁡ θ i +   r sin ⁡ θ j +   r k   ,     1 ≤ r ≤ 4     e   0 ≤ θ ≤ 2 π  

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