Ache a área delimitada pelas curvas dadas em coordenadas polares:

c)

r = 4 + 3 sin ⁡ θ para θ ∈ - π 2 , π 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para encontrar a área nos intervalos de - π 2 a π 2 da seguinte função dada em coordenadas polares:

r = 4 + 3 sin ⁡ θ

Mas antes, vamos entender um pouquinho sobre as coordenadas polares.

Na coordenada polar, um ponto é representado por sua distância do ponto de origem ( r ) e pelo ângulo formado com o eixo x positivo ( θ ), ou seja:

Assim, através da trigonometria, podemos observar as seguintes relações:

θ = tan - 1 ⁡ y x

r = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Nesse sentido, vale lembrar que a área A de uma função f ( θ ) (em um intervalo [ a , b ] ) dada em coordenadas polares é dada por:

A = ∫ a b 1 2 f θ 2   d θ  

Dessa forma, temos que aplicar nossa função nessa fórmula!!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, pelo que o enunciado nos deu, temos que:

f θ = r = 4 + 3 sin ⁡ θ

Nesse sentido, aplicando o intervalo de integração que também nos foi dado, temos que a nossa área é dada por:

A = ∫ - π / 2 π / 2 1 2 4 + 3 sin ⁡ θ 2   d θ   ∴

A = 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 16 + 24 sin ⁡ θ + 9 sin 2 ⁡ θ   d θ   ∴

A = 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 16   d θ   + ∫ - π / 2 π / 2 24 sin ⁡ θ   d θ   + ∫ - π / 2 π / 2 9 sin 2 ⁡ θ   d θ   ∴

Utilizando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 , temos:

A = 1 2 ∫ - π / 2 π / 2 16   d θ   + ∫ - π / 2 π / 2 24 sin ⁡ θ   d θ   + ∫ - π / 2 π / 2 9 1 - cos ⁡ 2 x 2   d θ   ∴

1 2 16 θ - 24 cos ⁡ θ + 9 2 x - sin ⁡ 2 x 2 π / 2 - π / 2

A = 16 π + 9 π 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = 16 π + 9 π 2

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