Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

UFPE, Calculo 2, 1º EE - 2015.2, Questão 1b

Descreva o gráfico da equação polar

r = 6 sen θ + cos θ

Passo 1

“Descreva o gráfico da equação polar”.... a verdade verdadeira mesmo é que ele quer saber qual a equação cartesiana dessa equação polar.

Então, vamos começar lembrando que

x = r . c o s θ

y = r . s e n θ

r 2 = x 2 + y ²

Assim, vamos multiplicar ambos os lados da nossa equação polar, pra facilitar nossas substituições:

r = 6 sen θ + 6 cos θ

r ² = 6 r sen θ + 6 r cos θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só substituir:

r ² = 6 r sen θ + 6 r cos θ

x 2 + y 2 = 6 y + 6 x

Ok, mas essa equação ainda não nos diz muita coisa. Como ele pede pra descrevermos o gráfico, vamos arrumar melhor isso aí e ver se chegamos em alguma equação conhecida.

Passo 3

Vamos lá, passando tudo pro lado esquerdo:

x 2 + y 2 - 6 y - 6 x = 0

x 2 - 6 y + y 2 - 6 x = 0

E completando quadrados:

x 2 - 6 x + - 6 2 2 - - 6 2 2 + y 2 - 6 y + - 6 2 2 - - 6 2 2 = 0

x 2 - 6 x + - 3 2 + y 2 - 6 y + - 3 2 = + - 3 2 + ( - 3 ) ²

x - 3 ² + y - 3 ² = 18

E isso é nada mais nada menos que a equação da circunferência centrada no ponto ( 3,3 ) , de raio r = 18 .

Resposta

O gráfico da equação polar é uma circunferência.

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