Exercícios Resolvidos de Coordenadas Polares

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 27

Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a equação polar r 2 = 4 r . cos θ .

  1. x - 2 2 + y + 4 2 = 4
  2. x + 2 2 + y 2 = 4
  3. x - 4 2 + y 2 = 2
  4. x - 2 2 + y 2 = 10
  5. x - 2 2 + y 2 = 4

Passo 1

Vamos lembrar das equações que relacionam as coordenadas cartesianas e as polares:

x = r . cos θ

y = r . sen θ

x 2 + y 2 = r 2

A melhor forma de resolver essa questão é substituindo essses valores na equação polar!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A nossa equação polar é:

r 2 = 4 r . cos θ

Vamos usar o fato de que r 2 = x 2 + y 2 :

x 2 + y 2 = 4 r . cos θ

E o fato de que x = r . cos θ :

x 2 + y 2 = 4 x

x 2 - 4 x + y 2 = 0

Precisamos arrumar um pouco essa equação.

Passo 3

Lembra do método de completar quadrados? Ele é útil para “arrumar” equações que envolvem... quadrados.

Por exemplo, esse quadrado aqui:

x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

É bastante parecido com o x 2 - 4 x que aparece na nossa equação. Na verdade, podemos dizer que:

x 2 - 4 x = x - 2 2 - 4

Substituindo isso na equação do passo anterior:

x 2 - 4 x + y 2 = 0

x - 2 2 - 4 + y 2 = 0

E então:

x - 2 2 + y 2 = 4

Pronto! Já estava certo antes, mas agora dá pra achar a resposta entre as opções.

Resposta

Letra (e).

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