2016) Os limites l i m x → 0 c o s ( 3 x ) - 1 x 2 e l i m x → 0 + s i n x x x - x valem, respectivamente,

a. - 9 2 e + ; b. - 9 2 e − ; c. 9 2 e + ; d. 9 2 e − ; e. nenhuma das anteriores;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular os limites l i m x → 0 c o s ( 3 x ) - 1 x 2 e l i m x → 0 + s i n x x x - x . Vamos verificar que temos indeterminações do tipo 0 0 , por isso podemos e vamos utilizar a regra de L’Hospital. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos observar as indeterminações

l i m x → 0 c o s ( 3 x ) - 1 x 2 = 1 - 1 0 = 0 0 , e l i m x → 0 + s i n x x x - x = 0 0 .

Passo 3

Agora vamos aplicar a regra de L’Hospital que corresponde a derivar o numerador e o numerador antes de aplicar o limite. Para essa derivação utilizamos a regra da cadeia,

l i m x → 0 c o s ( 3 x ) - 1 x 2 = l i m x → 0 - 3 s i n ( 3 x ) 2 x

Derivando mais uma vez, pois ainda temos indeterminação

l i m x → 0 c o s ( 3 x ) - 1 x 2 = l i m x → 0 - 3 s i n ( 3 x ) 2 x = l i m x → 0 - 9 c o s ( 3 x ) 2 = - 9 2 .

Passo 4

Agora resolvendo o outro limite também aplicando a regra de L’Hospital:

l i m x → 0 + s i n x x x - x = l i m x → 0 + ( 1 2 x ) c o s x x + x 2 x   - 1 = l i m x → 0 + c o s x 2 x ( x + x 2   - 1 ) = l i m x → 0 + c o s x ( 3 x   - 2 x ) = l i m x → 0 + c o s x - 2 x ( 1 - 3 2 x   ) = - 1 0 = - ∞ .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

b. - 9 2 e −

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