1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

p) lim x → 0 ⁡ x 4 + x 2 x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x 4 + x 2 x para x tendendo a 0 .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por 0 e encontrar f 0 pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 .

Vamos analisar como a função se comporta aos arredores de x = 0 . 👀

Passo 2

Vamos começar analisando o sinal da função.

Como nosso ponto é em x = 0 , se nos aproximarmos pela esquerda, vamos ter valores negativos para x e se nos aproximarmos pela direita, vamos ter valores positivos para x , portanto, o sinal da função f x em x = 0 depende da direção de onde ocorre a aproximação.

Em outras palavras, o numerador x 4 + x 2 não depende da aproximação em x = 0 pois os termos dentro da raiz estão elevados a números pares.

Mas o denominador x depende, e então o sinal da função depende.

Conseguiu entender? 🤔

Com isso, a única maneira para o limite existir é se for igual a 0 pois se ele for igual a uma constante a , haverá uma divergência, pois, em um lado o limite será a e no outro lado será - a .

Vamos deixar de papo furado e bora começar a calcular!

lim x → 0 + ⁡ x 4 + x 2 x

Podemos colocar x 2 em evidência dentro da raiz no numerador

lim x → 0 + ⁡ x 2 x 2 + 1 x = lim x → 0 + ⁡ x 2 x 2 + 1 x

Simplificando o termo x 2

lim x → 0 + ⁡ x x 2 + 1 x

lim x → 0 + ⁡ x 2 + 1

Substituindo x por 0 , temos

lim x → 0 + ⁡ x 2 + 1 = 0 + 1

lim x → 0 + ⁡ x 2 + 1 = 1

Então, se x tende a 0 pela direita, a função tende a 1 .

Assim, como o limite não é 0 , ele não existe pois para x → 0 - a função vai tender a - 1

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 + x 2 x = D i v e r g e

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