Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Calcule a derivada da função dada por:

f x = ∫ - x 2 e x s e n ( t 2 ) d t .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Primeiro a gente tem que olhar ela com mais carinho. Do lado esquerdo da igualdade a gente tem uma função f que é função de x . Do outro lado a gente tem uma integral cujos limites são funções de x , mas o integrando (aquela parte de dentro da integral) é função de t ! Calma, vamos resolver juntos!

Segura minha mão e vem comigo!

O enunciado pediu a derivada de uma função, deu a função e ela é uma integral, isso só tem um cheiro: de teorema fundamental do cálculo!

Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:

No nosso caso queremos calcular f ' ( x ) , então antes de tudo ela precisa ser contínua.

A função g está escrita como uma integral de s e n t 2 , que é uma composição de duas funções contínuas (polinômio t 2 e seno), logo o integrando é uma função contínua e podemos aplicar o teorema, belezinha?

A ideia é identificar as funções do nosso problema com as funções correspondentes do teorema e substituir! Vamos nessa?

Passo 2

Vamos agora identificar quem é quem no nosso problema em relação ao teorema.

A função g ( x ) é quem a gente quer derivar, então:

g x = ∫ - x 2 e x s e n ( t 2 ) d t

Como os limites do teorema envolvem uma constante e uma função, precisamos fazer um truquinho: separar essa integral em dois limites, saca só:

g x = ∫ - x 2 C s e n t 2 d t + ∫ C e x s e n ( t 2 ) d t

E não importa qual é essa constante C , ok? É um truque que faz com que a gente possa aplicar o teorema sem prejuízo!

Agora vou usar a propriedade da inversão dos limites de integração (invertendo os limites, surge um na frente da integral):

g x = - ∫ C - x 2 s e n t 2 d t + ∫ C e x s e n ( t 2 ) d t

A função f ( t ) é o integrando em t , então:

f t = s e n ( t 2 ) d t

E o nosso limite superior x é - x 2 na primeira integral da direita e e x na segunda.

Sóóó uma observação antes da gente continuar!

x no limite superior, tivermos uma função? (no nosso caso - x 2 e e x )

Ah! Muda que temos que aplicar a regra da cadeia!

f u ( x ) . d [ u ( x ) ] d x

Se tivermos u x = x , então d d x x = 1 , mas se não for assim, precisamos aplicar a regra da cadeia!

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora vou finalmente aplicar o teorema. Partindo da função g :

g x = - ∫ C - x 2 s e n t 2 d t + ∫ C e x s e n ( t 2 ) d t

A derivada é (com t = - x 2 e t = e x nos integrandos):

g ' x = - s e n - x 2 2 . d d x - x 2 + s e n e x 2 . d d x [ e x ]

Agora arrumando as multiplicações:

g ' x = - s e n x 4 . - 2 x + s e n e 2 x .   e x

E por fim arrumando os sinais:

g ' x = 2 x   s e n x 4 + e x   s e n ( e 2 x )

E mais um detalhezinho: no enunciado nossa função não se chama g , se chama f , então só pra ficar certinho com o exercício:

f ' x = 2 x   s e n x 4 + e x   s e n ( e 2 x )

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

f ' x = 2 x   s e n x 4 + e x   s e n ( e 2 x )

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