Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Seja f uma função. Explique primitiva, primitiva geral e integral indefinida usando f e f ' .

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

O problema nos disse que f é uma função qualquer, então sua derivada é f ' :

f ' = d f d x

f quanto f '

Vamos primeiro lembrar de alguns conceitos: primitiva é uma função que originou uma certa derivada. Por exemplo, a função x 3 dá origem à derivada de 3 x 2 , então isso significa que x 3 é a primitiva de 3 x 2

Mas não é só x 3 que ao derivar vamos obter 3 x 2 ! O polinômio ( x 3 + 7 ) , quando derivado, também resulta em 3 x 2 (já que derivada de constante é zero)

E aqui está o conceito de p r i m i t i v a   g e r a l : é uma família de funções cuja derivada é a mesma! Como derivada de constante é zero, a família de primitivas para 3 x 2 é

x 3 + C

Onde C é uma constante qualquer

Passo 2

No nosso caso, f é uma função e f ' é a derivada dessa função. Então é como se f = x 3 e f ' fosse 3 x 2 .

Então temos que f é a primitiva de f ' , tranquilo até aqui?

Passo 3

E o que tem a ver integral indefinida? A integral indefinida de uma função pode ser vista como a família de primitivas de uma função! Colocamos então a função f ' no integrando e o resultado dessa integral é a função f (sua primitiva):

f x = ∫ f ' ( x ) d x

E como vimos no passo anterior, não há apenas uma primitiva, mas sim uma família de primitivas que estão associadas a mesma derivada, então podemos colocar um + C do lado esquerdo da igualdade:

f x + C = ∫ f ' ( x ) d x

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

f x + C = ∫ f ' ( x ) d x

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