Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Calcule a partir da definição as seguintes integrais:

d)

∫ 0 a 1 x 3 d x

Passo 1

Ta na hora, ta na hora, ta na hora de integrar! Essa questão aqui tem cara de simples e é mesmo, vem comigo:

∫ 0 a 1 x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ⋅ ∆ x

Nesse intervalo de integração da função já temos alguns valores:

∫ 0 a 1 x 3 d x → I n t e r v a l o : [ 0 , a ]

Podemos dividir esse intervalo em n partes, então teremos que cada pequena partição será o valor final menos o inicial dividido por n :

∆ x = a - 0 n

Ficamos com:

∆ x = a n

E olhando para dentro do nosso somatório, precisamos definir quais são os valores de x i :

E vamos calcular cada um dos valores de x i da seguinte forma:

x i = 0 + i ⋅ ∆ x

Logo substituindo os nossos valores:

x i = 0 + i ⋅ a n

x i = i ⋅ a n

Agora pensando na função f ( x ) , podemos pegar a função que está sendo utilizada dentro da integral:

f x = 1 x 3 = x 3

E substituindo o valor de x i que acabamos que calcular:

f x = x 3 → f x i = i ⋅ a n 3

Hora de voltarmos ao somatório com todo esse grupo de informações que levantamos belamente:

∫ 0 a x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ⋅ ∆ x

Substituindo nossos valores:

∫ 0 a x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i ⋅ a n 3 ⋅ a n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n a 4 n 4 ⋅ i 3

Passo 2

Já ta craque nesse passo né? Hora de continuar resolvendo o somatório dentro do limite:

∫ 0 a x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n a 4 n 4 ⋅ i 3

Vamos começar jogando tudo que não depende de i para fora do somatório:

∫ 0 a x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ a 4 n 4 ⋅ ∑ i = 1 n i 3

Outra dica de ouro para somatórios:

∑ i = 1 n i 3 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4

Então substituindo esse somatório dentro de nosso limite, temos:

∫ 0 a x 3 d x = lim n → ∞ ⁡ a 4 n 4 ⋅ ∑ i = 1 n i 3 = lim n → ∞ ⁡ a 4 n 4 ⋅ n 4 4 + n 3 2 + n 2 4

Simplificando os valores que estão no numerador com o valor que está no denominador:

lim n → ∞ ⁡ a 4 ⋅ 1 4 + 1 2 n + 1 4 n 2

Fica tranquilo e joga essa parcela a 4 para fora do limite:

a 4 ⋅ lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 1 2 n + 1 4 n 2 = a 4 ⋅ 1 4  

Nossa integral inicial é igual a:

∫ 0 1 x 2 2 d x = a 4 4

Resposta

d)

a 4 4

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