Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

James Stewart Vol. I – 6ª ed. Exercício 47 da seção 5.2

Escreva como uma integral única na forma ∫ a b f x d x :

∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

Passo 1

Temos que transformar a soma de 3 integrais em uma só.

Repare que as integrais possuem limites de integração diferentes e queremos transformar em uma só integral com limites de integração a e b .

Basicamente, temos que descobrir quem é a e b .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nesses tipos de problemas, onde temos que manipular somente os limites de integração, vamos ter que usar as propriedades das integrais.

Ao olhar para as duas primeira integrais que compõem a soma, já podemos, de cara, usar uma propriedade de integrais definidas:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Nesse caso, temos: ∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x

a =   - 2

b = 2

c = 5

Logo:

∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x = ∫ - 2 5 f x d x

Observe que agora reduzimos um termo daquela soma, pois as duas primeiras integrais foram substituídas por uma única integral equivalente. O que temos agora é:

∫ - 2 2 f ( x ) d x + ∫ 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

= ∫ - 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

Passo 3

Agora, para podemos utilizar a mesma propriedade de antes, devemos lembrar da propriedade de inverter os limites de integração.

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x    

Nesse caso: ∫ - 2 5 f x d x = - ∫ 5 - 2 f x d x

Assim, temos:

= ∫ - 2 5 f ( x ) d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

- ∫ 5 - 2 f x d x - ∫ - 2 - 1 f ( x ) d x

Agora, podemos utilizar novamente a seguinte propriedade:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Agora, temos:

a =   5

b = - 2

c = - 1

- ∫ 5 - 2 f x d x - ∫ - 2 - 1 f x d x =   - ∫ 5 - 1 f x d x

Passo 4

Observe que a integral resultante tem limite inferior maior que o superior. Basta utilizarmos novamente a propriedade de inverter os limites de integração para reescrevê-la:

- ∫ 5 - 1 f ( x ) d x = ∫ - 1 5 f ( x ) d x

Resposta

∫ - 1 5 f ( x ) d x

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