Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

4. Calcule a integral ou mostre que ela e divergente.

∫ 0 1   l n ⁡ ( x ) x 3 d x

Passo 1

Para determinar se a integral ∫ 0 1   l n ⁡ ( x ) x 3 d x converge ou diverge, podemos utilizar o teste de convergência das integrais impróprias. Nesse caso, o teste de convergência para integrais impróprias será baseado no comportamento da função integranda próximo ao limite superior de integração, que é x = 0 .Vamos analisar a função l n ⁡ ( x ) x 3 quando x se aproxima de 0 :

l i m x → 0 +   l n ⁡ ( x ) x 3 .

Podemos fazer uma substituição u = - l n ⁡ ( x ) , então x = e - u e d x = - e - u d u . A integral se torna:

∫ ∞ 0 -   u e - 3 u ⋅ - e - u d u

Passo 2

Simplificando:

∫ ∞ 0 -   - u e 2 u d u

Agora, podemos aplicar o teste de convergência para integrais impróprias. Se o limite acima for finito, então a integral ∫ 0 1   l n ⁡ ( x ) x 3 d x converge. Se o limite for infinito ou não existir, a integral diverge.Vamos calcular o limite:

l i m u → - ∞   - u e 2 u = l i m u → - ∞   - u e - 2 u = l i m u → - ∞   - u 1 2 2 u = l i m u → - ∞   - u e 2 u = - ∞

Resposta

Como o limite é infinito, a integral ∫ 0 1   l n ⁡ ( x ) x 3 d x também é divergente. Portanto, a integral não converge.

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