Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

Ver Teoria

Enunciado

1 3 . O valor correto de lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 15 i 13 + 62 n 13 i 15 n 15 é

A : 16 15

B : 64 15

C : 128 15

D : 256 15

E : 32 15

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Isso que o enunciado quer que encontremos é bem dizer a definição de integral.

Onde temos a uma soma da área de todos os n retângulos em uma região e a quantidade n desses retângulos vai para o infinito. Então teríamos algo assim:

∫ a b f x d x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n Δ x ⋅ f ( x i )

Onde a base do i é s i m o retângulo é dada por:

Δ x = b - a n

Onde pegamos o comprimento de toda a região e dividimos por todos os n retângulos que tem nessa região.

A altura do i é s i m o retângulo é limitada pela função f ( x i ) , onde x i é a extremidade direita de do i é s i m o então esse x i é dado por:

x i = a + Δ x ⋅ k

Passo 2

Comparando a definição com o temos no enunciado, temos:

15 i 13 + 62 n 13 i 15 n 15 = Δ x ⋅ f ( x i )

Temos que:

Δ x = 1 n

Logo:

b - a = 1

E também que:

f x i = 15 i 13 + 62 n 13 i 15 n 1 4 = i 14 n 14 + 62 15 i n

E temos também que:

x i = a + i n

Avaliando f ( x i ) podemos notar que:

f x = x 14 + 62 15 x

Então a = 0 e consequente mente teremos b = 1 .

Passo 3

Juntando as informações que temos a nossa integral fica da seguinte forma:

∫ a b f x d x = ∫ 0 1 x 14 + 62 15 x   d x

Resolvendo essa integral temos:

∫ 0 1 x 14 + 62 15 x   d x = x 15 15 0 1 + 62 15 x 2 2 0 1

= 1 15 + 62 30

= 1 15 + 31 15 = 32 15

Então temos que:

lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 15 i 13 + 62 n 13 i 15 n 15 = 32 15

Então a nossa alternativa correta é a letra E .

Resposta

E : 32 15

Exercícios de Livros Relacionados

7. Calculea ) int_0^((pi)/(8)) cos^2 x d x
Nos Exercícios 51-54, use uma integral definida para determinar a área da região entre a curva dada e o eixo x no intervalo [ 0 ,b ] .52. y = π x ² ²
Encontre ∫ 0 5 f x d x se f x = 3 ,     p a r a   x3 x ,     p a r a   x ≥ 3
Suponha que f tenha uma valor mínimo absoluto m e um valor máximo absoluto M . Entre quais dois valores ∫ 0 2 f x d x deve ficar? Que propriedade das integrais lhe permitem tirar esta conclusão?
Use o resultado do Exemplo 3 para calcularint_1^3 e^(x + 2) d x