Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

02) Considere um circuito RC onde a força eletromotriz é alternada, de modo que E = E 0 c o s ⁡ ( t ) , a capacitância é uma constante C e a resistência aumenta linearmente, de modo que R = R 0 + a t . Temos que as quedas de tensão no capacitor e na resistência são dadas, respectivamente, por C q ( t ) e R q ' ( t ) , onde q ( t ) é a carga no capacitor. A segunda Lei de Kirchoff diz que a soma das quedas de tensão num circuito é igual à força eletromotriz.

a) Mostre que a carga q ( t ) satisfaz uma equação da forma q ' t + p t q t = g ( t ) .

Para os próximos itens considere que E 0 = 220 ,   C = 2 ,   R 0 = 1 ,   a = 2 .

b) Encontre uma primitiva P ( t ) de p ( t ) e determine e P t e também e - p t .

c) Obtenha a solução geral q ( t ) da equação determinada no primeiro item.

d) Determine a solução com carga inicial q 0 = q 0 . Mostre que lim t → ∞ ⁡ q t = 0 , mostrando que esse limite não depende da carga inicial q 0 .

Passo 1

Eaí gente, tudo bem?

a) Nessa questão temos um circuito RC no qual a resistência varia em função do tempo seguindo:

R = R 0 + a t

E que a força eletromotriz é alternada, obedecendo:

E = E 0 c o s t

Precisamos mostrar que a carga no capacitor, q ( t ) , obedece à equação:

q ' t + p t q t = g ( t )

Beleza! Mas como podemos fazer isso?

Hahaha calma, não precisa ter muito conhecimento de física. O próprio enunciado já nos diz o que fazer! Pela Lei de Kichorff, a soma das quedas de tensão no circuito é igual à força eletromotriz.

Daí, sendo C q ( t ) e R q ' ( t ) as quedas de tensão no capacitor e resistor, respectivamente, podemos escrever que:

R q ' t + C q t = E 0 c o s t

Substituindo o valor de R , temos:

R 0 + a t q ' t + C q t = E 0 c o s t

Como queremos deixar no formato bonitinho de EDO linear de 1 ° ordem, vamo dividir tudo por R 0 + a t :

q ' t + C R 0 + a t q t = E 0 c o s t R 0 + a t

Perfeito gente! Se chamarmos p t = C R 0 + a t e g t = E 0 c o s t R 0 + a t , temos:

q ' t + p t q t = g ( t )

O que é exatamente o que queríamos encontrar 😉

Passo 2

b) Beleza! A partir de agora ganhamos alguns valores iniciais pra questão não ficar tão literalzona!

Temos E 0 = 220 ,   C = 2 ,   R 0 = 1 ,   a = 2 .

Aqui precisamos encontrar a primitiva P ( t ) da função p ( t ) . Vocês lembram o que é uma função primitiva?

Basicamente é o resultado da integral, tipo:

P t =   ∫ p t d t

Sacaram?! Além disso devemos calcular também e P t e e - P t . Então bora lá!

Como pelo item a, achamos que:

p t = C R 0 + a t

Temos:

p t = 2 1 + 2 t

Logo:

∫ 2 1 + 2 t d t = P ( t )

Fazendo u = 1 + 2 t , então d u = 2 d t .

∫ 2 1 + 2 t d t =   ∫ 1 u d u

⇒ P t = l n ⁡ ( 1 + 2 t )

Muito bom! Calculando as exponenciais, ficamos com:

e P t = e ln ⁡ 1 + 2 t = 1 + 2 t

e - P t = e - ln ⁡ 1 + 2 t = 1 1 + 2 t

Passo 3

c) Ok! Aqui precisamos determinar a solução geral da EDO que encontramos no item a:

q ' t + C R 0 + a t q t = E 0 c o s t R 0 + a t

Substituindo os dados atuais, a gente pode reescrever essa equação como:

q ' t + 2 1 + 2 t q t = 220 c o s t 1 + 2 t

Massa! Relembrando que essa é uma EDO linear de 1° ordem.

“Linear” porque todas as variáveis ( q e q ' ) estão elevadas a 1 , e é de 1 ° ordem porque a variável de maior grau de derivação é q ' ( t ) .

Vocês lembram a solução geral desse tipo de equação?!

q t = e - P t ⋅ ∫ e - P t g t d t

Legal que no item b calculamos boa parte desses parâmetros, por isso já sabemos que:

e P t = 1 + 2 t

e - P t = 1 1 + 2 t

g t = 220 c o s t 1 + 2 t

Agora é só substituir na solução geral:

q t = 1 1 + 2 t ∫ 1 + 2 t ⋅ 220 cos ⁡ t 1 + 2 t d t

⇒ q t = 220 1 + 2 t ∫ cos ⁡ t d t

Logo:

q t = 220 ⋅ ( s e n t + B ) 1 + 2 t

Prontinho 😊

Passo 4

d) Pra encerrar mais uma questão, devemos determinar a solução particular para o caso q 0 = q 0 e depois calcular lim t → ∞ ⁡ q ( t ) .

Começando pela solução particular, se q 0 = q 0 , temos:

q 0 = 220 ⋅ s e n 0 + B 1 + 2 ⋅ 0 = 220 B

Logo:

B = q 0 220

Substituindo de volta na solução, encontraremos a solução particular:

q t = 220 s e n t + q 0 1 + 2 t

Fazendo o limite quando t   tende ao infinito, vem:

lim t → ∞ ⁡ q t = lim t → ∞ ⁡ 220 s e n t + q 0 1 + 2 t

Aí pensa comigo, a função que tá no numerador é limitada. Já no denominador, quando t → ∞ , 1 + 2 t → ∞ também. Logo, esse limite é do tipo l i m i t a d o / i n f i n i t o , por isso vale zero.

lim t → ∞ ⁡ q ( t ) = 0

O que mostra que, de fato, a carga final não depende de q 0 .

Prontinho galera! Mais uma questão resolvida, se precisar de um help tamo aqui 😊

Resposta

a) Resolução no texto.

b) P t = l n ⁡ ( 1 + 2 t )

c) q t = 220 ⋅ ( s e n t + B ) 1 + 2 t

d) q t = 220 s e n t + q 0 1 + 2 t

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