Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Calcule a partir da definição as seguintes integrais:

c)

∫ 0 1 x 2 2 d x

Passo 1

Fala aí, gente bonita! Essa questão é uma continuação do que estamos aprendendo, aumentamos um degrauzinho da dificuldade, mas vamos usar a mesma definição:

∫ 0 1 x 2 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ⋅ ∆ x

Nesse intervalo de integração da função já temos alguns valores:

∫ 0 1 x 2 2 d x → I n t e r v a l o : [ 0,1 ]

Podemos dividir esse intervalo em n partes, então teremos que cada pequena partição será:

∆ x = b - a n = 1 - 0 n

Ficamos com:

∆ x = 1 n

E olhando para dentro do nosso somatório, precisamos definir quais são os valores de x i :

E vamos calcular cada um dos valores de x i da seguinte forma:

x i = a + i ⋅ ∆ x

Logo substituindo os nossos valores:

x i = 0 + i ⋅ 1 n

x i = i n

Agora pensando na função f ( x ) , podemos pegar a função que está sendo utilizada dentro da integral:

f x = x 2 2

E substituindo o valor de x i que acabamos que calcular:

f x = x 2 2 → f x i = 1 2 ⋅ i n 2

Ótimo, parabéns por chegar até aqui, agora é hora de voltarmos ao somatório com todo esse grupo de informações que levantamos:

∫ 0 1 x 2 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ⋅ ∆ x

Substituindo nossos valores:

∫ 0 1 x 2 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 2 ⋅ i n 2 ⋅ 1 n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 2 ⋅ i 2 n 3

Passo 2

Vamos resolver esse limite para igualar a integral:

∫ 0 1 x 2 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 2 ⋅ i 2 n 3

Vamos começar jogando tudo que não depende de i para fora do somatório:

∫ 0 1 x 2 2 d x = lim n → ∞ ⁡ 1 2 ⋅ 1 n 3 ⋅ ∑ i = 1 n i 2

Agora vamos relembrar a seguinte relação do somatório, presta bastante atenção, porque é a dica de ouro:

∑ i = 1 n i 2 = n 3 3 + n 2 2 + n 6

Então substituindo esse somatório dentro de nosso limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 ⋅ 1 n 3 ⋅ ∑ i = 1 n i 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 2 ⋅ 1 n 3 ⋅ n 3 3 + n 2 2 + n 6

Simplificando os valores que estão no numerador com o valor que está no denominador:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 ⋅ 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2

Fica tranquilo e joga essa parcela 1 2 pra fora do limite:

1 2 ⋅ lim n → ∞ ⁡ 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2

Realizando esse limite maravilhoso, chegamos ao resultado igual a:

lim n → ∞ ⁡ 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2 = 1 3

Substituindo em nossa conta:

1 2 ⋅ lim n → ∞ ⁡ 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2 = 1 2 ⋅ 1 3

Nossa integral inicial é igual a:

∫ 0 1 x 2 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 2 ⋅ i n 2 ⋅ 1 n = 1 6

Resposta

c)

1 6

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