Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

8 . Seja α a área da região sob o gráfico y = x , acima do eixo x , entre as retas x = 0 e x = 11 5 . Selecione a alternativa que apresenta uma forma correta de obter o valor de α como limite de somas de áreas de retângulos.

A : α = lim n → ∞ ⁡ 11 n ∑ k = 1 n 11 n k

B : α = lim n → ∞ ⁡ 11 5 n ∑ k = 1 n 11 5 n k

C : α = lim n → ∞ ⁡ 11 5 n ∑ k = 1 n 11 n k

D : α = lim n → ∞ ⁡ 11 n ∑ k = 1 n 11 5 n k

E : α = lim n → ∞ ⁡ 11 5 ∑ k = 1 n 11 5 n k

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Isso que o enunciado quer que encontremos é bem dizer a definição de integral.

A área do retângulo é dada por base vezes a altura do retângulo, a base do k é s i m o retângulo é dada por:

Δ x = 11 5 - 0 n = 11 5 n

Onde pegamos o comprimento de toda a região e dividimos por todos os n retângulos que tem nessa região.

A altura de cada retângulo é limitada pela função y = x k , onde x k é a extremidade direita de do k é s i m o retângulo, então esse x k é dado por:

x i = Δ x ⋅ k

Passo 2

Então a área de um retângulo k qualquer é dada por:

Δ x ⋅ y x i = 11 5 n 11 5 n k

A área total vai ser dada pela soma da área de todos os n retângulos, assim:

∑ k = 1 n 11 5 n 11 5 n k = 11 5 n ∑ k = 1 n 11 5 n k

Tomando o limite de n indo para o infinito, temos:

lim n → ∞ ⁡ 11 5 n ∑ k = 1 n 11 5 n k

Então nossa alternativa correta é a letra B .

Resposta

B : α = lim n → ∞ ⁡ 11 5 n ∑ k = 1 n 11 5 n k

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