Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Considere o seguinte gráfico da função f

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 ,   A R 2 = 1 ,   A R 3 = 2 3 ,   A R 4 = 3 4   e   A R 5 = 5 6 .

Calcule:

∫ - 1 0 f t d t

∫ 0 2 f t d t

∫ 0 3 f t d t

Passo 1

Bom, vamos lá! O problema quer que a gente calcule várias integrais, mas ainda não sabemos calcular isso. Agora, o que o problema deu pra gente foram as áreas das regiões do gráfico!

Então uma coisa que a gente precisa saber que que a integral de uma função representa a área abaixo da curva dessa função! Como ele deu as área pra gente, aí podemos calcular as integrais.

Na primeira integral temos

∫ - 1 0 f t d t

Isso vai ser a área de - 1 à 0 . Sabemos que a área dessa região é A R 1 = 4 5 , logo a integral vai ser:

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

Passo 2

A integral seguinte, temos:

∫ 0 2 f t d t

Usando a mesma lógica, vamos ver que a integral vai ser a soma das áreas das regiões R 2 e R 3 .

∫ 0 2 f t d t = ∫ 0 1 f t d t + ∫ 1 2 f t d t

Agora, precisamos observar uma coisa muito importante, aqui, temos uma parte da função acima do eixo x e outra abaixo.

Apesar de não existir área negativa, existe integral negativa. Portanto, temos que levar em consideração que a área de R 3 vai fazer uma contribuição negativa por estar abaixo do eixo x. A integral então vai ser:

∫ 0 2 f t d t = A R 2 - A ( R 3 )

∫ 0 2 f t d t = 1 - 2 3

∫ 0 2 f t d t = 1 3

Passo 3

Por último temos:

∫ 0 3 f t d t

Como a gente já calculou ∫ 0 2 f t d t , podemos separar como:

∫ 0 3 f t d t = ∫ 0 2 f t d t + ∫ 2 3 f t d t

Que dá no mesmo que somar todas as áreas, como você preferir... mas temos que lembrar que a área de R 4 também está abaixo do eixo x. Então ficamos com:

∫ 0 3 f t d t = A R 2 - A R 3 - A ( R 4 )

Substituindo temos:

∫ 0 3 f t d t = 1 - 2 3 - 3 4

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Resposta

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

∫ 0 2 f t d t = 1 3

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

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