Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Calcule a partir da definição as seguintes integrais:

f)

∫ 0 3 x 2 + x d x

Passo 1

Querido Padawan, olhou para essa integral que tem duas parcelas se somando, o que você pensa primeiro? Se você respondeu Propriedade da Aditividade, você está corretíssimo!

Então podemos reescrever essa integral como a soma de duas integrais:

∫ 0 3 x 2 + x d x = ∫ 0 3 x 2 d x + ∫ 0 3 x d x

Você se lembra que já resolvemos a integral:

∫ 0 3 x d x

Logo no primeiro e no segundo item dessa questão, então relembrando:

∫ a b x d x = b 2 - a 2 2

Substituindo nossos valores, teremos:

∫ 0 3 x d x = 3 2 - 0 2 2 = 9 2

Passo 2

Agora vamos resolver a primeira integral:

∫ 0 3 x 2 d x

Pessoal, vamos usar a mesma estratégia de integração:

∫ 0 3 x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ⋅ ∆ x

Nesse intervalo de integração da função já temos alguns valores:

∫ 0 3 x 2 d x → I n t e r v a l o : [ 0 , 3 ]

Podemos dividir esse intervalo em n partes, então teremos que cada pequena partição será o valor final menos o inicial dividido por n :

∆ x = 3 - 0 n = 3 n

Ficamos com:

∆ x = 3 n

E olhando para dentro do nosso somatório, precisamos definir quais são os valores de x i , como nosso intervalo começa em zero:

x i = 0 + i ⋅ ∆ x

Logo substituindo os nossos valores:

x i = 0 + i ⋅ 3 n

x i = i ⋅ 3 n

Agora pensando na função f ( x ) , podemos pegar a função que está sendo utilizada dentro da integral:

f x = x 2

E substituindo o valor de x i que acabamos que calcular:

f x = x 2 → f x i = i ⋅ 3 n 2

Hora de voltarmos ao somatório com todo esse grupo de informações que levantamos belamente:

∫ 0 3 x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ⋅ ∆ x

Substituindo nossos valores:

∫ 0 3 x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i ⋅ 3 n 2 ⋅ 3 n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 3 n 3 ⋅ i 2

Passo 3

Hora de resolver o somatório e depois o limite:

∫ 0 3 x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 3 n 3 ⋅ i 2

Jogando todos os elementos que não dependem de i para fora do somatório:

∫ 0 3 x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ 3 3 n 3 ⋅ ∑ i = 1 n i 2

Usamos a relação de ouro:

∑ i = 1 n i 2 = n 3 3 + n 2 2 + n 6

Então voltando ao nosso limite:

∫ 0 3 x 2 d x = lim n → ∞ ⁡ 3 3 n 3 ⋅ n 3 3 + n 2 2 + n 6

Joga novamente tudo que não depende de n para fora do limite:

∫ 0 3 x 2 d x = 3 3 ⋅ lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 ⋅ n 3 3 + n 2 2 + n 6

Simplificando os elementos dentro do limite:

∫ 0 3 x 2 d x = 3 3 ⋅ lim n → ∞ ⁡ 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2

Nosso limite é igual a:

lim n → ∞ ⁡ 1 3 + 1 2 n + 1 6 n 2 = 1 3

Então substituindo na integral:

∫ 0 3 x 2 d x = 3 3 ⋅ 1 3 = 3 2

∫ 0 3 x 2 d x = 9

Passo 4

Achou que terminou, calma que ainda não, temos que juntar as duas partes do nosso frankenstein:

∫ 0 3 x 2 + x d x = ∫ 0 3 x 2 d x + ∫ 0 3 x d x

Substituindo as parcelas que conhecemos:

∫ 0 3 x 2 d x = 9

∫ 0 3 x d x = 9 2

Logo:

∫ 0 3 x 2 + x d x = 9 + 9 2 = 27 2

Resposta

f)

27 2

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