Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada entre os ponto P e Q ou no intervalo especificado.

a) y = - 2 x + 3                     P : [ - 1,5 ] ,   Q : [ 2 , - 1 ]

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Bom, pede-se o comprimento de um arco, ou seja, o comprimento da linha de uma função de um ponto até o outro.

O arco que nos pedem para calcular é esse:

Do ponto azul até o preto, apenas.

Duas coisas precisamos ter em mente quando queremos calcular o comprimento de um arco: saber derivar e a seguinte formula na qual aplicamos essa integração:

L = ∫ a b f ' x 2 + 1     d x

Onde f ( x ) é a função.

Bom, já tendo a faca e o queijo na mão, vamos lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Peguemos f(x) e derivemos:

d d x - 2 x + 3 = - 2

Assim aplicando na formula:

L = ∫ a b - 2 2 + 1   d x

Passo 3

Mas quais são “a” e “b”, são os pontos nos quais x está limitado. Pegando apenas o ponto x dos pontos P e Q:

      P : - 1,5 ,   Q : 2 , - 1 = - 1,2

Assim x vai de -1 até 2. Assim a nossa integral fica:

L = ∫ - 1 2 4 + 1     d x = 5   x - 1 2 = 5 2 - - 1 = 3   5  

L = 3   5

O comprimento do arco vale 3 5 unidades.

Resposta

L = 3 5

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