Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Calcule a partir da definição as seguintes integrais:

e)

∫ 0 2 x 4 d x

Passo 1

Pessoal, vamos usar a mesma estratégia de integração:

∫ 0 2 x 4 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ⋅ ∆ x

Nesse intervalo de integração da função já temos alguns valores:

∫ 0 2 x 4 d x → I n t e r v a l o : [ 0,2 ]

Podemos dividir esse intervalo em n partes, então teremos que cada pequena partição será o valor final menos o inicial dividido por n :

∆ x = 2 - 0 n = 2 n

Ficamos com:

∆ x = 2 n

E olhando para dentro do nosso somatório, precisamos definir quais são os valores de x i :

E vamos calcular cada um dos valores de x i da seguinte forma:

x i = 0 + i ⋅ ∆ x

Logo substituindo os nossos valores:

x i = 0 + i ⋅ 2 n

x i = i ⋅ 2 n

Agora pensando na função f ( x ) , podemos pegar a função que está sendo utilizada dentro da integral:

f x = x 4

E substituindo o valor de x i que acabamos que calcular:

f x = x 4 → f x i = i ⋅ 2 n 4

Hora de voltarmos ao somatório com todo esse grupo de informações que levantamos belamente:

∫ 0 2 x 4 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ⋅ ∆ x

Substituindo nossos valores:

∫ 0 2 x 4 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i ⋅ 2 n 4 ⋅ 2 n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 5 n 5 ⋅ i 4

Passo 2

Já ta craque nesse passo né? Hora de continuar resolvendo o somatório dentro do limite:

∫ 0 2 x 4 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 5 n 5 ⋅ i 4

∫ 0 2 x 4 d x = lim n → ∞ ⁡ 2 5 n 5 ⋅ ∑ i = 1 n i 4

Pela série geométrica, nós calculamos que:

∑ i = 1 n i 4 = 1 30 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n - 1 )

Fazendo esse produto:

1 30 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n - 1 )

Chegamos em:

∑ i = 1 n i 4 = 1 30 6 n 5 + 15 n 4 + 10 n 3 - n

Voltando para a integral:

∫ 0 2 x 4 d x = lim n → ∞ ⁡ 2 5 n 5 ⋅ ∑ i = 1 n i 4

Substituindo:

∫ 0 2 x 4 d x = lim n → ∞ ⁡ 2 5 n 5 ⋅ 1 30 ⋅ ( 6 n 5 + 15 n 4 + 10 n 3 - n )

Novamente, a dica é jogar todos os valores que independem de n para fora do limite:

∫ 0 2 x 4 d x = 32 30 lim n → ∞ ⁡ 1 n 5 ⋅ ( 6 n 5 + 15 n 4 + 10 n 3 - n )

Simplificando os numeradores e denominador dentro do limite:

∫ 0 2 x 4 d x = 32 30 lim n → ∞ ⁡ 6 + 15 n + 10 n 2 - 1 n 4

Esse limite retorna o valor:

lim n → ∞ ⁡ 6 + 15 n + 10 n 2 - 1 n 4 = 6

Substituindo no cálculo da integral:

∫ 0 2 x 4 d x = 32 30 ⋅ 6 = 32 5

Pode gritar que você venceu! Chegamos no final da questão!

Resposta

e)

32 5

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