Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Uma partícula se desloca sobre o eixo com uma função posição x = x t . Determine x = x ( t ) sabendo que:

d 2 x d t 2 = 3   e   ν 0 = 1   e   x 0 = 1

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo bem?

Vamos pra mais uma luta que vamos vencer juntos?

Bem, temos ali uma derivada de x em relação a t. O enunciado quer que a gente obtenha a função posição x ( t ) . Então, na verdade o que vamos precisar é integrar essa função dada no enunciado em relação a t .

Como a gente vai fazer uma integração indefinida, vai aparecer uma constante que a gente acaba descobrindo seu valor por conta da condição inicial ali de x 0 = 2 , ou seja, quando t = 2 a posição é igual a 2.

Então vamos que vamos!

Passo 2

Vamos integrar!!!

d 2 x d t 2 = 3    

∫ d 2 x = ∫ 3 d t 2

d x = 3 t + C 1 d t

x t = 3 t 2 2 + C 1 t + C 2

Passo 3

Bora agora descobrir nossa constante de integração!!!!

Note que o enunciado nos deu uma condição de v 0 = 1 , e esse trequinho aí é a velocidade, e, como sabemos, a velocidade é a variação da posição pelo tempo, ou seja.

v = d x d t = 3 t + C 1

v 0 = 3 × 0 + C 1 = 1 → C 1 = - 3

Logo, a segunda condição é x 0 = 1

Então, x 0 = 3 × 0 2 2 - 3 0 + C 2 = 1 → C 2 = 1

Portanto,

x t = 3 t 2 2 - 3 t + 1

Resposta

x t = 3 t 2 2 - 3 t + 1

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