Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada entre os ponto P e Q ou no intervalo especificado.

b) cosh ⁡ x ,           [ 0 , ln ⁡ ( 2 ) ]  

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Talvez você tenha medo de mexer com funções hiperbólicas, mas fique tranquilo, eu também tenho e estamos juntos nessa.

Mas saiba que as propriedades delas são parecidas com as funções trigonométricas que já conhecemos.

Bom, pede-se o comprimento de um arco, ou seja, o comprimento da linha de uma função de um ponto até o outro.

E o comprimento do arco que queremos saber é esse:

De um ponto na linha verde até o outro.

Duas coisas precisamos ter em mente quando queremos calcular o comprimento de um arco: saber derivar e a seguinte formula na qual aplicamos essa integração:

L = ∫ a b f ' x 2 + 1     d x

Onde f ( x ) é a função, “a” e “b” os limites de integração

Bom, já tendo a faca e o queijo na mão, vamos lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos então a nossa função f x :

d d x cosh ⁡ x = sinh ⁡ x

Aplicando então na fórmula:

∫ 0 ln ⁡ 2 sinh 2 ⁡ x + 1   d x

Bom, paras as funções hiperbólicas temos que sinh 2 ⁡ ( x ) + 1 = cosh 2 ⁡ ( x ) . Assim temos que a nossa função fica:

∫ 0 ln ⁡ 2 cosh 2 ⁡ x   d x

Pois:

∫ 0 ln ⁡ 2 cosh ⁡ x d x

Passo 3

Lembra que falei que algumas das propriedades das funções hiperbólicas são parecidas com as trigonométricas? Então a integral do cosseno hiperbólico é o seno hiperbólico.

∫ 0 ln ⁡ 2 cosh ⁡ x d x = sinh ⁡ x 0 ln ⁡ 2

Fica mais fácil se passarmos o seno hiperbólico pro seu numeral, que é:

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

Assim então:

e x - e - x 2 0 ln ⁡ 2

Então:

2 - 1 2 2 = 3 4

Resumindo:

L = 3 4

O comprimento do arco vale 0,75 unidades. Sacou, carinha

Resposta

L = 3 4

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