Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Seja F uma função cuja derivada é f . Explique primitiva, primitiva geral e integral indefinida usando F e f .

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

O problema nos disse que F é uma função qualquer e que sua derivada é f :

f = d F d x

F quanto f

Vamos primeiro lembrar de alguns conceitos: primitiva é uma função que originou uma certa derivada. Por exemplo, a função x 3 dá origem à derivada de 3 x 2 , então isso significa que x 3 é a primitiva de 3 x 2

x 3 que ao derivar vamos obter 3 x 2 ! O polinômio x 3 + 7 , quando derivado, também resulta em 3 x 2 (já que derivada de constante é zero)

E aqui está o conceito de p r i m i t i v a   g e r a l : é uma família de funções cuja derivada é a mesma! Como derivada de constante é zero, a família de primitivas para 3 x 2 é

x 3 + C

Onde C é uma constante qualquer

Passo 2

No nosso caso, F é uma função e f é a derivada dessa função. Então é como se f = 3 x 2 e F fosse x 3 .

Então temos que F é a primitiva de f , tranquilo até aqui?

Passo 3

e o que tem a ver integral indefinida? A integral indefinida de uma função pode ser vista como a família de primitivas de uma função! Colocamos então a função f no integrando e o resultado dessa integral é a função F (sua primitiva):

F x = ∫ f ( x ) d x

E como vimos no passo anterior, não há apenas uma primitiva, mas sim uma família de primitivas que estão associadas a mesma derivada, então podemos colocar um + C do lado esquerdo da igualdade:

F x + C = ∫ f ( x ) d x

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

F x + C = ∫ f ( x ) d x

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