Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pp 419 - 9

Se ∫ - 2 2 3   f x d x = 12 , ∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6 e ∫ - 2 5 3 g ( x ) d x = 2 , determine:

a )   ∫ - 2 2 f x d x

b )   ∫ 2 5   f ( x ) d x

c )   ∫ 5 - 2 g ( x ) d x

d )   ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x

e )   ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x

Passo 1

Ele está dando integrais definidas com funções genéricas f x e g ( x ) e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Hum, acho que isso tá com cheiro de propriedades de integrais!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra a)

Veja bem:

Queremos ∫ - 2 2 f x d x e temos o valor da integral ∫ - 2 2 3   f x d x

A única coisa que muda é a constante multiplicando f ( x ) , certo? Os limites de integração são os mesmos. Então que tal usarmos essa propriedade aí embaixo?

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

∫ - 2 2 3   f x d x = 3 ∫ - 2 2   f x d x

∫ - 2 2   f x d x = 1 3 . 3 ∫ - 2 2   f x d x = 1 3 ∫ - 2 2 3   f x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 2 3   f x d x = 12

Logo:

∫ - 2 2   f x d x = 12 3 = 4

Pronto!

Passo 3

Letra b)

Queremos ∫ 2 5 f x d x e temos o valor das integrais ∫ - 2 5 3   f x d x e ∫ - 2 2 3   f x d x

Essa questão é diferente da anterior. Agora, além da constante multiplicando f ( x ) , os limites de integração também mudam. Observe que queremos calcular uma integral com limite inferior 2 e temos o valor de duas integrais com o limite inferior igual a -2, sendo que uma delas tem limite superior igual a 2 e a outra limite superior igual a 5.

Isso nos leva a pensar na possibilidade de usar aquela propriedade de juntar intervalor de integração:

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x    

Pensa aqui comigo se eu não posso escrever:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

Bem, o que temos não é a integral de ∫ 2 - 2 f ( x ) d x e sim ∫ - 2 2 f ( x ) d x

Então para podermos usar a propriedade acima, primeiro devemos utilizar aquela propriedade de inverter os limites de integração:

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f x d x    

Nesse caso: ∫ 2 - 2 f x d x = - ∫ - 2 2 f x d x

No item a ) , já calculamos ∫ - 2 2 f x d x

Do item a ) :

∫ - 2 2 f x d x = 4

Logo:

∫ 2 - 2 f x d x = - 4

Do enunciado:

∫ - 2 5 3   f ( x ) d x =   6

∫ - 2 5   f ( x ) d x =   2

Então:

∫ 2 - 2 f ( x ) d x + ∫ - 2 5 f ( x ) d x = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

- 4 + 2 = ∫ 2 5 f ( x ) d x    

∫ 2 5 f ( x ) d x   = - 2

Passo 4

Letra c)

Agora devemos calcular

∫ 5 - 2 g x d x

Temos o valor de

∫ - 2 5 3   g x d x

Aqui a constante multiplicando a função g ( x ) muda, bem como a ordem dos limites de integração. Portanto, utilizamos as propriedades abaixo:

∫ a b   c   g x d x = c ∫ a b   g x d x ,   onde   c   é  uma constante qualquer

∫ a b g ( x ) d x = - ∫ b a g x d x    

Temos:

∫ - 2 5 3   g x d x = 3 ∫ - 2 5   g x d x

∫ - 2 5   g x d x = 1 3 ∫ - 2 5 3   g x d x

Do enunciado, sabemos que:

∫ - 2 5 3   g x d x = 2

Logo:

∫ - 2 5   g x d x = 2 3

E então:

∫ 5 - 2   g x d x = - ∫ - 2 5   g x d x = - 2 3

Passo 5

Letra d)

Queremos ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x e temos o valor de ∫ - 2 5 g ( x ) d x , calculado no item c )

Nesse caso, a única coisa que difere é a constante multiplicando a função g ( x ) . Mais uma vez, podemos utilizar a propriedade:

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

∫ - 2 5 - π   g x d x = - π ∫ - 2 5   g x d x

∫ - 2 5 - π   g x d x = - π 2 3  

∫ - 2 5 - π   g x d x = - 2 π 3

Passo 6

Letra e)

Queremos calcular ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x e temos os valores de ∫ - 2 5   f x d x (calculado no item b ) e o valor de ∫ - 2 5   g x d x (calculado no item c ) .

A primeira coisa que devemos notar é que podemos reescrever essa soma da seguinte forma:

∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x = ∫ - 2 5 1 5 f x + g x d x

Utilizando a propriedade:

∫ a b   c   f x d x = c ∫ a b   f x d x ,   onde   c   é uma constante qualquer

(Ufa... me diz que você também não aguenta mais usar essa propriedade?)

Temos:

∫ - 2 5 1 5 f x + g x   d x = 1 5 ∫ - 2 5 f x + g x   d x

Agora nós temos a integral de uma soma. Então devemos utilizar a propriedade que diz que a integral da soma é igual à soma das integrais:

∫ a b [ f x + g x ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x

Portanto, teremos:

1 5 ∫ - 2 5 [ f x + g x ] d x = 1 5 ∫ - 2 5 f x d x + ∫ - 2 5 g x d x

1 5 ∫ - 2 5 f x + g x d x = 1 5 2 + 2 3

1 5 ∫ - 2 5 f x + g x d x = 1 5 8 3 = 8 15

Resposta

a )   ∫ - 2 2 f x d x = 4

b )   ∫ 2 5   f ( x ) d x = - 2

c )   ∫ 5 - 2 g ( x ) d x = - 2 3

d )   ∫ - 2 5 ( - π   g x ) d x = - 2 π   3

e )   ∫ - 2 5 f x +   g x 5 d x = 8 15

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