Exercícios Resolvidos de Introdução e Propriedades das Integrais

PUC-RJ - Cálculo 1 - P3 2010.1 – 4a - modificado

Considere o seguinte gráfico da função f

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 ,   A R 2 = 1 ,   A R 3 = 2 3 ,   A R 4 = 3 4   e   A R 5 = 5 6 .

Calcule:

∫ - 1 0 f t d t

∫ 0 2 f t d t

∫ 0 3 f t d t

Passo 1

Ele quer várias integrais, mas ainda não sabemos calcular isso. Vamos pensar na integral como área, porque a área ele deu e aí podemos calcular as integrais.

Na primeira integral temos

∫ - 1 0 f t d t

Isso vai ser a área de - 1 à 0 . Olhando o gráfico, vemos que nesse trecho a função está acima do eixo x . Portanto, a integral é o mesmo valor da área!

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a mesma lógica para a integral seguinte, temos:

∫ 0 2 f t d t

Aqui, temos uma parte da função acima do eixo x e outra abaixo. Portanto, uma das áreas será igual a integral e a outra o inverso, então

∫ 0 2 f t d t = A R 2 - A ( R 3 )

∫ 0 2 f t d t = 1 - 2 3

∫ 0 2 f t d t = 1 3

Passo 3

Seguindo com a solução:

∫ 0 3 f t d t

Pela mesma lógica anterior:

∫ 0 3 f t d t = A R 2 - A R 3 - A ( R 4 )

∫ 0 3 f t d t = 1 - 2 3 - 3 4

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Resposta

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

∫ 0 2 f t d t = 1 3

∫ 0 3 f t d t = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

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