Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2014 Quinta - 3 b

Calcule:

  lim x + 3 x - 2 3 x + 1 2 x

Passo 1

Substituindo, temos indeterminação:

lim x + 3 x - 2 3 x + 1 2 x =

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de fazer esse cara se parecer com o Limite Fundamental Exponencial, temos que fazer algumas pequenas mudanças dentro dele. Em primeiro lugar, vamos dividir o termo de 3 x em cima e embaixo:

lim x + 3 x - 2 3 x + 1 2 x = lim x + 3 x 1 - 2 3 x 3 x 1 + 1 3 x 2 x

= lim x + 1 - 2 3 x 1 + 1 3 x 2 x

Agora, pelas propriedades dos limites, calculamos o limite do quociente como o quociente dos limites:

lim x + 1 - 2 3 x 1 + 1 3 x 2 x = lim x + 1 - 2 3 x 2 x lim x + 1 + 1 3 x 2 x

Repara que, nesse formato, podemos usar o Limite Fundamental Exponencial nos dois!

Passo 3

Começamos calculando o limite no numerador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u ± 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

- 2 3 x = 1 u x = - 2 u 3

x +   ; u -

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x + 1 - 2 3 x 2 x = lim u - 1 + 1 u - 4 u 3 = lim u - 1 + 1 u u - 4 3

= lim u - 1 + 1 u u - 4 3 = e - 4 3

Passo 4

Agora calculamos o limite do denominador.

Do Limite Fundamental Exponencial, tínhamos:

lim u ± 1 + 1 u u = e

Vamos fazer uma substituição no termo do parênteses e jogá-la no expoente:

1 3 x = 1 u x = u 3

x +   ; u +

Com isso, o termo do enunciado seria:

lim x + 1 + 1 3 x 2 x = lim u + 1 + 1 u 2 u 3 = lim u + 1 + 1 u u 2 3

= lim u + 1 + 1 u u 2 3 = e 2 3

Passo 5

Substituindo os resultados, teremos:

lim x + 1 - 2 3 x 2 x lim x + 1 + 1 3 x 2 x = e - 4 3 e 2 3 = 1 e 4 3 e 2 3 = 1 e 6 3

= 1 e 2 = e - 2

Resposta

lim x + 3 x - 2 3 x + 1 2 x = e - 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas