Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

6. Considere a função

f x = 3 x 2 + 2 x + 1 sin ⁡ x + x + 2 + 1 + 1 2 x + 1 3 x + 4

O valor correto de lim x → ∞ ⁡ f ( x ) é?

  ∞       e 3 / 2       3 + e 3 / 2       0       3       3 + e 3       3 + e 4         o   l i m i t e   n ã o   e x i s t e

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos ter que calcular esse limite aqui

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 sin ⁡ x + x + 2 + 1 + 1 2 x + 1 3 x + 4

A função assusta né? Mas vamos separar esse limite em uma soma de limites:

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 sin ⁡ x + x + 2 + 1 + 1 2 x + 1 3 x + 4 = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 sin ⁡ x + x + 2 + lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 2 x + 1 3 x + 4

Agora vamos resolver esse limite separado! Mas já vou dar a dica: vamos usar os nossos limites fundamentais aqui!

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar por,

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 2 x + 1 3 x + 4

Vamos aplicar o Limite Fundamental Exponencial, que diz isso aqui:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Mas repara que nesse caso, o denominador é diferente do expoente. Então vamos fazer uma mudança de variável:

u = 2 x + 1 → x = u 2 - 1 2

Reescrevendo o limite, fica assim:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u 2 + 1 2 + 4 = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u 2 + 11 2

E vamos aplicar a seguinte propriedade de exponencial

x a . x b = x a + b

Então podemos escrever o nosso limite assim:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u 2 + 11 2 = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u 2 . lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 11 2

Resolvendo o primeiro limite aplicando o limite fundamental trigonométrico,

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 3 u 2 = e 3 / 2

Agora fazendo,

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u 11 2 = 1

Logo,

lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 2 x + 1 3 x + 4 = e 3 / 2

Vamos para o próximo!

Passo 3

Resolvendo agora,

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 sin ⁡ x + x + 2

Vamos colocar o x em evidência,

lim x → ∞ ⁡ x 3 + 2 x + 1 x 2 x sin ⁡ x x + 1 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ 3 + 2 x + 1 x 2 sin ⁡ x x + 1 + 2 x

Vamos escrever o nosso limite assim, então

lim x → ∞ ⁡ 3 + 2 x + 1 x 2 sin ⁡ x x + 1 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ 3 + 2 x + 1 x 2 lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ x x + lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x

Vamos resolver cada limite em separado:

lim x → ∞ ⁡ 3 + 2 x + 1 x 2 = 3

lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x = 1

Agora falta o limite com a função seno, onde vamos aplicar o limite fundamental trigonométrico, logo:

lim x → ∞ ⁡ sin ⁡ x x = 1

Sendo assim, temos que

lim x → ∞ ⁡ 3 + 2 x + 1 x 2 sin ⁡ x x + 1 + 2 x = lim x → ∞ ⁡ 3 1 = 3

Agora vamos juntar tudo!

Passo 4

Então tínhamos que,

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 sin ⁡ x + x + 2 + 1 + 1 2 x + 1 3 x + 4 = lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 sin ⁡ x + x + 2 + lim x → ∞ ⁡ 1 + 1 2 x + 1 3 x + 4

Substituindo,

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 x + 1 sin ⁡ x + x + 2 + 1 + 1 2 x + 1 3 x + 4 = 3 + e 3 2

Prontinho!

Resposta

3 + e 3 2

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