Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Calcule os limites abaixo

f )   lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

A ideia é calcular esse limite aqui

lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2

Mas calma! Antes vamos relembrar de todos os limites fundamentais que estudamos, assim podemos identificar qual deles o nosso limite mais se aproxima

Estão aqui os limites que você precisa ter na manga para resolver qualquer questão assim:

E aí? E depois? Depois é #partiu #manipulação para deixar o nosso limite com a cara de um limite fundamental! Assim vamos conseguir usar os resultados e calcular o nosso limite de boas!

Então a ideia é usar essas informações para calcular o nosso limite!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para nosso limite

lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2

E lembrar do segundo limite fundamental daquele quadro em azul do passo anterior

lim u → 0 ⁡ a u - 1 u = ln ⁡ a

Temos algo parecido, não é? Sim! Se chamarmos nosso a = 10 vamos ter algo bem parecido com esse limite!

Tranquilo?

Passo 3

A ideia agora é #manipulação

lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2

Agora a gente vai usar o truque sujo (nada sujo, é um truquinho superlegal de se fazer e funciona para muitas coisas!) de fazer uma mudança de variáveis que nos ajude a enxergar nosso limite melhor!

Nosso limite fundamental envolve uma constante a sendo elevado a uma variável u , então vamos chamar

x - 2 = u

Assim já garantimos que nossa potência naquele 10 fica igual no nosso limite

outra mudança que acarreta é na tendência da variável

no nosso limite

lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2

Temos que x → 2 , mas quando u = x - 2 , quando x tende ao 2, o u

u = 2 - 2 = 0

Tende a zero! Lembrando que nosso limite fundamental é quando u → 0 , mais um ponto para nossa mudança de variável! Agora é só substituir no limite

lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2 = lim u → 0 ⁡ 10 u - 1 u

Tudo bem até aqui?

Agora é só aplicar o resultado do limite fundamental. Sabendo que

lim u → 0 ⁡ a u - 1 u = ln ⁡ a

E no nosso caso a = 10 , assim

lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2 = lim u → 0 ⁡ 10 u - 1 u = ln ⁡ 10

E taí nosso resultado!

lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2 = ln ⁡ 10

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

ln ⁡ 10

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