Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Determine os limites a seguir:

i) lim x → 0 + ⁡ x t g x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = x t g x 2 quando o valor de x se aproxima de zero pela direita, ou seja, vai se aproximando de zero por valores maiores que zero.

Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação 0 0 e conseguir substituir o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 + ⁡ x t g x 2

Vamos aplicar o ln na função pra tentar se livrar dessa exponencial de x :

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x t g x 2

Assim, pela propriedade de logaritmo, temos:

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x 2 ln ⁡ x

Ainda não dá pra gente substituir o limite, porque o ln de zero é indefinido. Então, vamos recorrer a função exponencial, que é o inverso do logaritmo natural. Assim, temos:

lim x → 0 + ⁡ e tan ⁡ x 2 ln ⁡ x

Como uma função é inversa da outra, elas se cancelam, e ficamos com:

lim x → 0 + ⁡ e tan ⁡ x 2

Agora sim, sabendo que tan ⁡ 0 = 0 , temos:

= e tan ⁡ 0

= e 0 = 1

Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x t g x 2 = 1

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